Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung ist neben der Bornschen Regel eine Grundgleichung für die Dynamik von Quantensystemen. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des System-Zustands (synonym: Wellenfunktion), solange das System sich selbst überlassen ist und keine Messung vorgenommen wird.

Die Gleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger (1887–1961) zuerst als Wellengleichung aufgestellt und schon bei ihrer ersten Anwendung erfolgreich zur Erklärung der Spektren des Wasserstoffatoms genutzt.

Die Schrödingergleichung besagt, dass die zeitliche Veränderung eines Zustands durch seine Energie bestimmt ist. In der Gleichung tritt die Energie nicht einfach als Zahl auf, sondern als Operator (Hamiltonoperator), der auf den Zustand angewandt wird:

Darin ist

• i die imaginäre Einheit
• hbar die reduzierte Plancksche Konstante
• die partielle Ableitung nach der Zeit
• das Symbol für den Zustand des Systems zum angegebenen Zeitpunkt
• der für das System maßgebliche Hamiltonoperator.

Wenn das Quantensystem ein klassisches Analogon hat (z. B. Teilchen im 3-dimensionalen Raum),lässt sich der Hamiltonoperator nach rezeptartigen Regeln aus der klassischen Hamiltonfunktion gewinnen. Die kinetische Energie „wirkt“ dann in der Weise, dassdas Teilchen aus einem Zustand am Ort (x,y,z) an benachbarte Orte versetzt wird. Für manche Systeme werden Hamiltonoperatoren auch direkt nach quantenmechanischen Gesichtspunkten konstruiert (Beispiel: Hubbard-Modell).

Als Spezialfall der zeitlichen Entwicklung beschreibt die Schrödingergleichung die Zustände eines Quantensystems, die sich mit der Zeit nicht ändern (stationäre Zustände), und ermöglicht die Berechnung der durch solche Zustände definierten Energie-Niveaus.

Die Schrödingergleichung bildet das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik. Seit 1926 gelang mit ihr die Erklärung vieler Eigenschaften von Atomen und Molekülen (bei denen die Elektronenwellenfunktionen als Orbitale bezeichnet werden) sowie von Festkörpern (Bändermodell).

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