Satz von Picard-Lindelöf

Problemstellung

Sei oder oder sei allgemeiner E ein reeller Banach-Raum. Im einfachsten Fall ist . Es lassen sich alle Aussagen, die in diesem einfachsten Fall getroffen und bewiesen werden, durch einfache Änderung der Notation auf den allgemeinen Fall übertragen. Es muss dazu nur durch ersetzt werden, d.h. der Absolutbetrag durch die Norm des Banachraumes.

Eine Differentialgleichung für eine Funktion mit Werten in E ist eine Gleichung der Form y'(x) = f(x, y(x)). Die Funktion f(x, y) der rechten Seite ist dabei auf einem (offenen) Gebiet definiert und hat Werte in E, .

Oft wird der Definitionsbereich G in Form eines vertikalen Streifens vorausgesetzt, dann ist .

Eine stetig differenzierbare Funktion für ein Intervall ist eine (lokale) Lösung der Differentialgleichung, wenn für alle sowohl als auch y'(x) = f(x, y(x)) gelten.

Die Frage ist nun, ob sich bei Vorgabe eines Punktes eine lokale Lösung der Differentialgleichung finden lässt, deren Definitionsbereich x₀ enthält und die gleichzeitig y(x₀ ) = y₀ erfüllt.

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