Satz von Picard-Lindelöf

Der Satz in seinen Versionen

Die Voraussetzungen der Satzversionen sind immer die Stetigkeit der rechten Seite und das Bestehen einer Lipschitz-Bedingung. Diese Lipschitz-Bedingung wird oft als „lokale Lipschitz-Stetigkeit in der zweiten Variablen“ beschrieben.

Globale und lokale Lipschitz-Bedingung

Definition: Seien und gegeben. Es wird gesagt, dass f eine (globale) Lipschitz-Bedingung auf U in der zweiten Variablen erfüllt, wenn es eine Konstante gibt, so dass für jedes und Punkte mit die Ungleichung

gilt.

Definition: Seien und gegeben. Es wird gesagt, dass f eine lokale Lipschitz-Bedingung auf U in der zweiten Variablen erfüllt, wenn es für jeden Punkt eine Umgebung gibt, auf der die Einschränkung von f auf eine (globale) Lipschitz-Bedingung erfüllt.

Bemerkungen:

• Die Umgebung U der lokalen Lipschitz-Bedingung kann immer als Kugel bzw. Zylinder gewählt werden, da es in jeder offenen Menge eine Teilmenge dieser Gestalt für jeden ihrer Punkte geben muss. Darin bezeichnet die offene Kugel um y mit Radius .
• Jede stetig partiell nach der zweiten Variablen differenzierbare Funktion mit konvexem Definitionsbereich erfüllt auch eine lokale Lipschitz-Bedingung in der zweiten Variablen, da nach dem Mittelwertsatz

mit einer geeigneten Norm der Ableitung gilt. Als stetige Funktion ist die Norm der Ableitung lokal beschränkt, woraus die Lipschitz-Bedingung in der zweiten Variablen folgt.

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