Satz von Kantorowitsch

Voraussetzungen

Es seien eine offene konvexe Teilmenge und eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung lokal Lipschitz-stetig ist.

D.h. für jedes existiere die Jacobi-Matrix F'(x) der partiellen Ableitungen und es gebe für jede beschränkte Teilmenge eine Konstante L > 0 mit

für beliebige .

Die Norm der Differenz der Jacobi-Matrizen ist die induzierte Matrixnorm. Diese in die Vektornorm aufgelöst ergibt die Bedingung

für beliebige Punkte und Tangentialvektoren .

In X sei ein Punkt bekannt, so dass die Jacobi-Matrix F'(x₀ ) invertierbar ist. Sei h₀ = F'(x₀ )^-1 F(x₀ ) der Newtonschritt und x₁ = x₀ - h₀ das nächste Glied der Newton-Iteration.

Es bezeichne ||h₀ || = ||x₁ - x₀ || die Länge des Newtonschritts.

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