Satz von Kantorowitsch

Beweisskizze

Man kann zeigen, dass für ein konvexes Gebiet U mit Lipschitz-Konstante M der ersten Ableitung immer die Ungleichung

gilt, falls x und x+h in U enthalten sind. Für x₀ und x₁ = x₀ + h₀ mit dem Newtonschritt h₀ folgt insbesondere

.

Wegen

ist F'(x₁ ) nach dem Satz zur Neumann-Reihe ebenfalls invertierbar und es gilt

Diese beiden Abschätzungen kann man zusammenfassen zu einer Abschätzung des nächsten Newtonschrittes h₁ = - F'(x₁ )^-1 F(x₁ ):

und der die Konvergenz kontrollierenden Kenngröße

.

Die Kugel um x₂ = x₁ + h₁ mit Radius ||h₁ || ist vollständig in B und damit in X enthalten, die Lipschitz-Konstante der kleineren Kugel kann nur kleiner sein als M. Es sind also alle Voraussetzungen für den nächsten Schritt hergestellt. Per Induktion wird dies auf die gesamte Newton-Iteration fortgesetzt. Es ergibt sich eine Folge von ineinander enthaltenen Kugeln, deren Radius sich in jedem Schritt mindestens halbiert. Der gemeinsame Durchschnitt aller Kugeln ist also genau ein Punkt, der auch Grenzwert der Newton-Iteration ist. Die Funktionswerte der Newton-Iteration reduzieren sich in jedem Schritt auf ein Viertel des vorhergehenden Funktionswertes, bilden also eine Nullfolge. Der Grenzwert der Newton-Iteration löst also die Vektorgleichung F(x)=0.

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