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Satz des Thales| Beweise | |
Satz des Thales
Beweise
Euklid zeigt den Satz des Thales im dritten Band der Elemente mit Hilfe der beiden Sätze aus dem ersten Band
- Die beiden Winkel an der Grundseite (Basiswinkel) eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß
und dem Satz
- Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°
welche ebenfalls Thales zugeschrieben werden:
ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit [AB] als Kreisdurchmesser und dem Radius r. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke [AB] auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen AM, BM und CM sind also gleich dem Radius r.Die Strecke [CM] teilt das Dreieck ABC in zwei Dreiecke AMC und BCM auf, die gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die Winkel an der Grundseite [AC] bzw. [BC], sind daher jeweils gleich (
und
in der Abbildung).
Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:
Dividiert man diese Gleichung auf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich
.
Damit ist gezeigt, dass der Winkel mit Scheitel C ein rechter Winkel ist.
- Die Umkehrung des Satzes von Thales lässt sich zurückführen auf die Aussage, dass die Diagonalen eines Rechtecks gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren.
- Einen weiteren Beweis findet man hier: .
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