Satz des Pythagoras

Beweise

Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend drei geometrische Beweise vorgestellt. Ein vierter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield.

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge a + b

In ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a, b und c (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge a + b). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge c, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge a und einem mit Seitenlänge b. Die Fläche c² entspricht also der Summe der Fläche a² und der Fläche b² , also a² + b² = c² . Dies ist der Satz des Pythagoras.

Geometrischer Beweis des Satz des Pythagoras (Animation)

Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge a+b, und somit die Fläche (a + b)² . Zieht man von dieser Fläche die 4 Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von (also insgesamt 2ab) haben, so bleibt die Fläche c² übrig. Es ist also (a + b)² = 2ab + c² . Aus Auflösung der Klammer folgt a² + 2ab + b² = 2ab + c² . Zieht man nun auf beiden Seiten 2ab ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.

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