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Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks her.

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten.

Satz 16GD (Satz des Pythagoras)

In einem rechtwinkligen Dreieck seien mit c die Hypotenuse (längste Seite) und mit a und b die beiden anderen Seiten (Katheten) bezeichnet. Dann gilt:

Beweis über Flächenzerlegung

Wir stellen fest, dass kongruent zu ist. (Sie stimmen in den drei Seiten überein). Das gleiche gilt für die Dreiecke und .

Der Flächeninhalt A_V des Vierecks CDFH ist A_V = (a + b)² ; es gilt aber auch, dass A_V die Summe aus dem Flächeninhalt des Quadrates AEGB und dem Vierfachen des Flächeninhaltes des Dreiecks () ist. Damit erhalten wir: . D.h. a² + b² + 2ab = c² + 2ab und die Behauptung ergibt sich sofort.

Weitere Beweise

Auf Grund seiner Bedeutung zeigen wir noch, dass wir den Satz des Pythagoras aus diversen anderen Beziehungen herleiten können.

Herleitung aus dem Kathetensatz

Nach dem Kathetensatz gilt a² = pc und b² = qc.

Also: a² + b² = pc + qc = (p + q)c = c² .

Herleitung aus Höhensatz

Man konstruiert den Thaleskreis mit dem Mittelpunkt A und dem Radius c. Das Dreieck DEB ist nach dem Satz des Thales rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei B und der Höhe a = BC. Man wende den Höhensatz an: a² = (c - b)(c + b) = c² - b² , woraus man sofort c² = a² + b² erhält.

Herleitung aus dem Kosinussatz

Der Cosinussatz für das allgemeine Dreieck lautet: , wobei der von den Seiten a und b eingeschlossene Winkel ist.

Für ergibt sich der Pythagoras als Spezialfall sofort.

Herleitung aus dem Sinussatz

Laut Sinussatz gilt: . Da ist, erhalten wir: . Etwas umgeformt ergeben sich: und .

Natürlich kann man dieses Beziehungen auch gleich durch Anwendung der Definition des Sinus erhalten.

Jedenfalls ist . Womit uns nur noch zu zeigen bleibt, dass

Wir wissen: und mit ergibt sich die Behauptung.

Bei dieser Herleitung haben wir etwas gemogelt. In der Regel steckt in der Beziehung schon der Satz des Pythagoras, den wir hier ja erst beweisen wollen.

Umkehrung

Gilt in einem Dreieck c² = a² + b² , so ist dieses Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse c.

Beweis

Im Dreieck gelte c² = a² + b² . Sei ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck für das gilt | A'C' | = b und | B'C' | = a. In diesem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: | A'B' | ² = | A'C' | ² + | B'C' | ² = a² + b² . Wegen c² = a² + b² ist c² = | A'B' | ² , also c = | A'B' | . Damit stimmen die Dreiecke und in allen drei Seiten überein und sind kongruent. Dann muss aber rechtwinklig sein.

Pythagoreische Tripel

Pythagoreische Tripel sind ganze Zahlen für die die Beziehung c² = a² + b² gilt. Einfachste Tripel ist 3² + 4² = 5² . Mittels dieses pythagoreischen Zahlentripels kann man einen rechten Winkel konstruieren, indem man ein Dreieck mit den entsprechenden Seitenlängen auslegt.

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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