Rotationskörper

Guldinsche Regeln

Die beiden guldinschen Regeln, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Paul Guldin, verkürzen Oberflächen- und Volumenberechnungen von Rotationskörpern enorm, falls sich die Linien- oder Flächenschwerpunkte der rotierenden Objekte unter Ausnutzen der Symmetrien der jeweiligen Aufgabe einfach erkennen lassen (s.u. Torus Beispiele).

Bezeichnungen:

M = Oberfläche

V = Rauminhalt

L = Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)

A = Flächeninhalt der erzeugenden Fläche

R = Radius des Schwerpunktkreises

r = Radius des rotierenden Kreises (Torus-Beispiele)

Erste Regel

Der Flächeninhalt M einer Mantelfläche eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) und dem Umfang des Kreises (Schwerpunktkreis), der durch die Rotation des Schwerpunktes der Profillinie erzeugt wird:

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f der erzeugenden Linie ergibt sich der Flächeninhalt als:

Bei Rotation um die x-Achse

Mit als y-Koordinate des Linienschwerpunktes der Linie L und ihrem Linienelement dL findet man

was das obige Ergebnis darstellt, wenn noch mit den x-Intervallgrenzen [a, b] eingesetzt wird.

Bei Rotation um die y-Achse

Wie oben bei der Volumenberechnung muss auch hier gegebenenfalls die Rechnung für die stetigen und streng monotonen Abschnitte von f(x), in denen die Umkehrfunktion existiert, separat durchführt werden.

Beispiel: Oberfläche eines Torus:

Siehe auch: Mantelfläche

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