Rotationskörper

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Rotation um x-Achse

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden x = a und x = b begrenzt wird, um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

Rotation um y-Achse

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die y-Achse und die beiden Geraden y = f(a) und y = f(b) begrenzt wird, muss man y = f(x) umformen zur Umkehrfunktion x = f^-1 (y). Diese existiert, wenn f stetig und streng monoton ist. Falls nicht (wie z.B. im Bild rechts oben), lässt sich f vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen f jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und aufaddiert werden.

Wenn man hier x = f^-1 (y) substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse

.

Der Absolutwert von f' und die min/max Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden x = a und x = b begrenzt wird, gilt die Formel:

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