Romberg-Integration

Vorgehensweise

1. Zuerst wird I_{1, 1} berechnet.
2. Beginne eine zyklische Berechnung (Hauptzyklus) mit der Zyklusvariablen n mit n = 1 und berechne I_{n + 1, 1} . Nutze dabei Werte aus den vorhergehenden Zyklen aus, abhängig von der verwendeten Schrittweiten-Folge.
3. Extrapoliere in einem Unterzyklus mit
   k = 2 bis n + 1 und s = 2 + n - k
   den Wert I_{s, k} nach obiger Regel
4. Berechne die Genauigkeit. Ist die gewünschte Genauigkeit noch nicht erreicht, so erhöhe n um 1 und setze den Hauptzyklus mit einem neuen Durchgang fort.

Die Berechnung startet also wie folgt (Romberg-Folge):

• Berechnen von I_{1, 1} nach der Trapezregel
• Hauptzyklus starten mit n = 1
• Berechnen von I_{n + 1, 1} = I_{2, 1} nach der Trapezregel (2 Intervalle, 2¹ = 2). Es muss nur der mittlere Funktionswert neu berechnet werden:

• Unterzyklus: k geht von 2 bis 2.
• 
• 
• Neuer Durchgang des Hauptzyklus mit n = 2.
• Berechnen von I_{n + 1, 1} = I_{3, 1} nach der Trapezregel (4 Intervalle, 2² = 4, zwei neue Funktionswerte).

• Unterzyklus: k geht von 2 bis 3.
• k = 2 und
• k = 3 und
• 
• Neuer Durchgang des Hauptzyklus mit n= 3 .
• Berechnen von I_{n + 1, 1} = I_{4, 1} nach der Trapezregel 8 Intervalle, 2³ = 8, 4 neue Funktionswerte).
• Unterzyklus: k geht von 2 bis 4 .
• k = 2 und
• k = 3 und
• k = 4 und
• 
• Neuer Durchgang des Hauptzyklus mit n = 4

usw.

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