Romberg-Integration

Grundgedanke

Die Romberg-Integration basiert auf der Richardson-Extrapolation zum Limes über die Schrittweite einer summierten Quadraturformel, wie beispielsweise der Trapezregel. Die Trapezregel ist hier besonders zu erwähnen, da sie einfach zu berechnen ist und zudem eine Entwicklung in quadratischen Potenzen der Schrittweite besitzt, also eine Extrapolation in Quadraten der Schrittweite möglich ist, die deutlich schneller konvergiert als die einfache Extrapolation zum Limes. Mit Schrittweite h ist hier die Breite der Trapeze bei der Trapezregel gemeint.

Der aufwändige Teil der numerischen Integration sind oft die Funktionsauswertungen. Um deren Anzahl minimal zu halten, ist es somit ratsam, einen Schrittweitenverlauf zu wählen, der die Weiterverwendung von bereits berechneten Funktionswerten erlaubt. Ein Beispiel für eine solche Schrittweite wäre , das zugleich die Bedingungen für eine konvergente Extrapolation erfüllt. Also

Bei dieser sogenannten Romberg-Folge wächst die Anzahl der benötigten Funktionsauswertungen bei großen n schnell an, was nicht immer erwünscht ist.

Um diesem abzuhelfen, kann auch die Bulirsch-Folge verwendet werden:

Hier werden Glieder mit zwischengeschaltet.

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