Yacas Reloaded - Freies Computer Algebra System

Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Analysis

Reelle Zahlen

Reelle Funktionen

Definitionen

Klassen von Funktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Differentialrechnung

Integralrechnung

Unbestimmtes Integral

Riemann-Integral

Beispiele

Eigenschaften

Monotone und stetige

Funktionen

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und Stammfunktion

Weitere Eigenschaften

Mittelwertsatz

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Das Riemann-Integral

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Seien mit a < b und sei beschränkt. ; .

Ober- und Untersummen

Z = {x₀ , x₁ , x₂ , ..., x_n } heißt eine Zerlegung des Intervalls [a, b], wenn

sei die Menge der Zerlegungen von [a, b].

Weitere Bezeichnungen:

Ober- und Untersummen

I_j := [x_j-1 , x_j ] für j = 1, ...n
| I_j | := x_j - x_j-1 ist die Länge von I_j
m_j := inf f(I_j ), M_j := sup f(I_j )
heißt die Untersumme von f bezüglich der Zerlegung Z
heißt die Obersumme von f bezüglich Z

Es ist und wegen | I_j | > 0 gilt daher:

gilt:.

Sind Z₁ , Z₂ Zerlegungen von [a, b], so heißt Z₂ Verfeinerung von Z₁ , wenn .

Satz 16MD

Z₁ , Z₂ seien Zerlegungen von [a, b].

Ist Z₂ Verfeinerung von Z₁ , so gilt

(i) bedeutet, dass bei der Verfeinerung von Zerlegungen die Untersummen größer und die Obersummen kleiner werden.

Nach (ii) ist es jedoch nicht möglich, dass die Untersummen größer als die Obersumme einer beliebigen aber festen Zerlegung werden. bzw. die Obersummen kleiner als die Untersumme einer beliebigen aber festen Zerlegung.

Beweis

(i) Wir zeigen nur die Ungleichung für die Untersummen (Obersummen analog).

Sei Z₁ = {x₀ , ..., x_n }. Es genügt, den Fall , wobei , zu betrachten, die Verallgemeinerung kann dann durch vollständige Induktion bewiesen werden.

Es gibt nun ein j, sodass .

= s_f (Z₁ ).

(ii): ist Verfeinerung sowohl von Z₁ als auch von Z₂ . Nach (i) folgt: .

Ist Z₁ beliebige, fest gewählte Zerlegung von [a, b], so gilt nach Satz 16MD (ii):

für jede Zerlegung Z von [a, b]

Die Menge der Untersummen s_f (Z) ist nach oben beschränkt und nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert das Supremum:

s_f := sup{s_f (Z) : Z Zerlegung von [a, b]}

und es gilt: für jede Zerlegung Z₁ von [a, b]

Daher existiert ebenso

S_f = inf{S_f (Z₁ ) : Z₁ Zerlegung von [a, b]}

und es gilt:

Man nennt s_f das untere Integral von f und S_f das obere Integral von f.

Definition des Riemannintegrals

Die Funktion heißt riemann-integrierbar über [a, b], wenn unteres und oberes Integral existiert und übereinstimmt, also s_f = S_f .

In diesem Fall heißt

das Riemann-Integral (oder auch bestimmte Integral) von f über [a, b].

Sind keine Verwechslungen mit anderen Integraltypen zu befürchten, so lässt man die Bezeichnung "Riemann" oft weg.

Mit

ist integrierbar über [a, b]}

wird der Raum aller riemannintegrierbaren Funktionen auf [a, b] bezeichnet.

Ist f im Intervall [a, b] integrierbar so definieren wir .

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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