Richtungsableitung

Definitionen

Seien eine offene Menge, und ein Einheitsvektor (das heißt | v | = 1).

Die (beidseitige) Richtungsableitung einer Funktion am Punkt x entlang (oder in Richtung von) v ist definiert durch den Limes

falls der Grenzwert existiert.

Eine alternative Formulierung ist folgende:

Durch ist eine Funktion definiert mit g_v (0) = f(x). Ihre Ableitung an der Stelle t = 0 ist gerade die Richtungsableitung von f im Punkt x in Richtung v.

Verzichtet man auf die Einschränkung | v | = 1, so gibt es zwei Möglichkeiten, den Begriff „Ableitung entlang oder in Richtung von v“ zu interpretieren:

1. Übernimmt man die obenstehenden Definitionen, so ist D_v f(x) proportional zur Länge von v.
2. Soll der Wert der Richtungsableitung nur von der Richtung von v abhängen, aber nicht von der Länge, so muss die Definition modifiziert werden, zum Beispiel zu

Im Folgenden wird der erste Ansatz zu Grunde gelegt.

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