Inhalt

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Richtungsableitung

Die partiellen Ableitungen kann man sich als Ableitungen entlang von Geraden parallel zu den Koordinatenachsen vorstellen.

Entsprechend kann man sich eine beliebige Richtung vorgeben und die Funktion entlang dieser differenzieren.

Sei sei in einer Umgebung des Punktes definiert. sei ein beliebiger Richtungsvektor. Die Gerade

Wir definieren eine reelle Funktion

für welche h(0) = f(a) gilt. Für h ist die Ableitung wie üblich definiert ist. Es gilt

.

Diese Ableitung heißt die Richtungsableitung von f in der Richtung v und wird mit bezeichnet. Die Funktion f ist dann im Punkt a nach der Richtung v ableitbar.

Damit entspricht die Richtungsableitung der gewöhnlichen Ableitung, wenn man die Funktion auf ein Gerade einschränkt, die durch a mit der Richtung v geht.

Da die Richtungsableitung von der Länge des Vektors v abhängt, ist es üblich v zu normieren, so dass ||v|| = 1 ist.

Betrachtet man als Richtung den k-ten Einheitsvektor e_k , so entspricht die Richtungsableitung der partiellen Ableitung: .

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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