Reelle Zahl

Zahlengerade

Die Menge der reellen Zahlen ist ein für Anwendungen der Mathematik wichtiger Zahlenbereich: Eine Vielzahl von gemessenen oder berechneten physikalischen Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur und Masse können mit reellen Zahlen als Maßzahl angegeben werden. Anschaulich entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Trotzdem sind die reellen Zahlen ein abstrakter theoretische Begriff. Nicht für jede reelle Zahl gibt es ein Darstellung in einer Zahlensprache wie z. B. dem Dezimalsystem.

Reelle Zahlen sind eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen. Diese Erweiterung ist nötig, weil die rationalen Zahlen für manche Längen keine Maßzahl bereitstellen, zum Beispiel für die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 oder für die Teilstrecken in einem Pentagramm mit der Seitenlänge 1. Schon die Pythagoräer erkannten die Notwendigkeit, den Zahlbegriff über die Längenverhältnisse (die durch rationale Zahlen beschrieben werden) hinaus zu erweitern. Erst die moderne Mathematik hat aber den Bereich der reellen Zahlen definiert und damit dem Grenzwertbegriff und der gesamten Analysis ein festes Fundament gegeben.

Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol (auch R, Unicode U+211D: ℝ) verwendet. Diese werden unterschieden in:

• Rationale Zahlen -
• Ganze Zahlen - .
• Natürliche Zahlen - (ohne 0): {1, 2, 3, ...} oder (mit 0): {0, 1, 2, 3, ...} (auch ).
• Irrationale Zahlen - = die Menge aller Elemente von , die nicht in liegen. Diese lassen sich wiederum unterteilen in:
• irrationale algebraische Zahlen und
• transzendente Zahlen.

Darstellen lassen sich reelle Zahlen beispielsweise als (unendliche oder abbrechende) Dezimalzahlen.

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