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Rangbestimmung mit Hilfe von Determinanten

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Die Determinanten, nur definiert für quadratische Matrizen (Endomorphismen), können auch in der Theorie allgemeiner Rechtecksmatrizen verwendet werden.

Definition

Bei einer beliebigen Matrix heißt die Determinante einer durch Streichen von m - k Zeilen und n - k Spalten entstandene k-reihige Teilmatrix eine k-reihige Unterdeterminante oder ein k-reihiger Minor von A.

Satz

Der Rang einer Matrix ist die größte Zahl r, für die eine von Null verschiedene r-reihige Unterdeterminante existiert, das heißt

Es gibt eine r-reihige Unterdeterminante und jede k-reihige Unterdeterminante mit k > r ist gleich Null.

Beispiel

zweireihige Unterdeterminanten

Beweis

Es sei r die größte ganze Zahl, für die eine r-reihige Unterdeterminante existiert. Wir zeigen .

es gibt r unabhängige Spalten in Für die durch Streichen der restlichen Spalten entstandene Teilmatrix gilt ebenfalls Es gibt r linear unabhängige Zeilen in Für die durch Streichen der restlichen Zeilen entstandene Teilmatrix gilt ebenfalls ist regulär . Also gilt (ist gleich größte ganze Zahl, für die eine r-reihige Unterdeterminante existiert.)

A sei eine r-reihige Teilmatrix mit regulär . Durch Hinzufügen der gestrichenen Zeilen und Spalten vergrößert sich höchstens der Rang. Also ist .

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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