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Quaternionen

Hamilton

Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Erdacht wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Die Menge der Quaternionen wird meist mit bezeichnet. (Man beachte jedoch, dass dieses Symbol je nach Kontext aber auch eine andere Bedeutung haben kann, siehe obere Halbebene und hyperbolischer Raum.)

Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation. Als vierdimensionale reelle Algebra sind die Quaternionen ein vierdimensionaler reeller Vektorraum. Daher ist jedes Quaternion durch vier reelle Komponenten x₀ , x₁ , x₂ , x₃ eindeutig bestimmt. Als Basiselemente dieses Vektorraums werden vier Elemente mit der Länge 1 gewählt, die senkrecht aufeinander stehen; sie werden mit 1, i, j, k bezeichnet. Die Linearkombination der vier Komponenten mit den vier Basiselementen lautet also

x₀ + x₁ i + x₂ j + x₃ k

Dabei ist eingebettet als Elemente der Form x₀ , also mit x₁ = x₂ = x₃ = 0. Die Menge der komplexen Zahlen kann auf verschiedene Weisen in die Quaternionen eingebettet werden; die Quaternionen sind jedoch keine -Algebra.

Rechenregeln

Überträgt man die aus den Körpern (reelle Zahlenebene) und (komplexe Zahlenebene) bekannten Operationen + (Addition) und (Multiplikation) auf , erhält man einen Schiefkörper. Die Addition ist dabei identisch mit der Addition des Vektorraums und die Skalarmultiplikation des Vektorraums wird für die Multiplikation übernommen. Dadurch ist zur Definition der Multiplikation nur noch das Produkt von Basiselementen des Vektorraums anzugeben (siehe Multiplikation).

Operationen über zwei Quaternionen

Addition	Multiplikation
ist assoziativ und kommutativ	ist assoziativ, aber nicht kommutativ

Die besondere Stellung der Komponente x₀ bezeichnet man analog zu den Komplexen Zahlen als Realteil oder Skalarteil s = x₀ , während die Komponenten x₁ , x₂ und x₃ Imaginärteil x₁ i + x₂ j + x₃ k oder Vektorteil v = (x₁ , x₂ , x₃ ) genannt werden. Ein Quaternion, dessen Realteil 0 ist, nennt man reines Quaternion.

Darstellung als Matrix

Die Quaternionen können auch als Unterring des Rings der komplexen -Matrizen (alternativ auch als Unterring des Rings der reellen -Matrizen) aufgefasst werden. Dabei setzt man

(vgl. auch Pauli-Matrix)

Als Ergebnis erhält man eine der folgenden Matrixdarstellungen:

Quaternion als Matrix

2x2 komplex	4x4 reell

Hamilton-Regeln

Für Quaternionen gelten die folgenden Hamilton-Regeln:

Zusätzlich folgt aus den Verknüpfungsregeln i² = j² = k² = -1 und .

Addition

Die Addition ist die einfachste Rechenregel für Quaternionen. Man braucht lediglich die Komponenten einzeln zu addieren:

(a₁ + i b₁ + j c₁ + k d₁ ) + (a₂ + i b₂ + j c₂ + k d₂ ) =

(a₁ + a₂ ) + i (b₁ + b₂ ) + j (c₁ + c₂ ) + k (d₁ + d₂ )

Subtraktion

Da die Addition der Quaternionen kommutativ ist, geht man bei der Subtraktion analog zur Addition vor und subtrahiert die einzelnen Komponenten:

(a₁ + i b₁ + j c₁ + k d₁ ) - (a₂ + i b₂ + j c₂ + k d₂ ) =

(a₁ - a₂ ) + i (b₁ - b₂ ) + j (c₁ - c₂ ) + k (d₁ - d₂ )

Multiplikation

Für Quaternionen sind verschiedene Arten der Multiplikation definiert. Man unterscheidet grundsätzlich zwischen der Multiplikation nach Graßmann und der Multiplikation nach Euklid, sowie dem Produkt, dem Geradenprodukt und dem Ungeradenprodukt.

Hierbei sind die Geraden definiert durch die Gleichung:

und die Ungeraden durch:

Graßmann-Produkt

Die gewöhnliche Multiplikation der Quaternionen, auch als Graßmann-Produkt bekannt, leitet sich aus der Multiplikation der komplexen Zahlen ab.

In der Matrixdarstellung sieht dies folgendermaßen aus:

(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Im Fall der Quaternionen wird als b und d ein dreidimensionaler Vektor verwendet und das Kreuzprodukt dieser Vektoren addiert.

Und in der Darstellung als Matrix:

Merke: (erste minus letzte, außen plus innen plus kreuz)

Es entsteht also bei der Multiplikation reiner Quaternionen q_a und q_b ein Quaternion q, dessen Skalarteil S(q) = - q_a q_b bis auf das Vorzeichen dem Skalarprodukt der beiden Vektorteile entspricht, während der Vektorteil , das Vektorprodukt der Vektorteile von q_a und q_b ist.

Die einzelnen Vektoren (x, y, z) werden hierbei in der Form (ix + jy + kz) ausgedrückt. Aus dem Einsetzen dieser Vektoren erhält man die oben dargestellten Regeln für die Multiplikation der Quaternionen.

Aufgelöst ergibt sich daher für die Multiplikation:

(a₁ + i b₁ + j c₁ + k d₁ ) (a₂ + i b₂ + j c₂ + k d₂ ) =

Im Spezialfall, dass ein Quaternion , bestehend aus der Ableitung der Zeit

und dem Nabla-Operator

,

mit einem anderen Quaternion q_x multipliziert wird, enthält man die zeitbasierte Ableitung des Skalars, sowie 3-Vektorfunktionen welche die Abweichung vom Ursprung (Offset), Steigung und Biegung einer Bewegung enthalten.

Dies ist eine sehr kompakte Darstellung um etwa eine ballistische Flugbahn darzustellen.

Graßmann-Geradenprodukt

Das Graßmann-Geradenprodukt der Quaternionen wird selten verwendet. Dieses Produkt ist kommutativ, d.h. es gilt Even(q₁ , q₂ ) = Even(q₂ , q₁ ).

Even(q₁ , q₂ )

Even(q₁ , q₂ ) = (a₁ a₂ - b₁ b₂ - c₁ c₂ - d₁ d₂ ) + i (a₁ b₂ + b₁ a₂ ) + j (a₁ c₂ + c₁ a₂ ) + k (a₁ d₂ + d₁ a₂ )

Graßmann-Ungeradenprodukt

Das Kreuzprodukt oder auch Graßmann-Ungeradenprodukt zweier Quaternionen ist das Äquivalent zum Vektorprodukt. Es entspricht dem Vektorprodukt der beiden Vektorteile dieser Quaternionen:

Euklidsches Produkt

Euklidsches Geradenprodukt

Das Punktprodukt, auch Skalarprodukt, euklidsches Geradenprodukt oder inneres euklidsches Produkt genannt, entspricht dem Punktprodukt eines 4-wertigen Vektors.

Man kann das Punktprodukt in das Graßmann Produkt (d. h. eine Multiplikation) umformen:

Punktprodukte sind nützlich, wenn man ein einzelnes Element eines Quaternions isolieren möchte:

Euklidsches Ungeradenprodukt

Das euklidsche Ungeradenprodukt, auch äußeres euklidsches Produkt genannt, wird nur selten benötigt. Es ist ähnlich zum inneren euklidschen Produkt und wird deshalb als Paar mit diesem behandelt (siehe: Gerades euklidsches Produkt):

Outer(q₁ , q₂ ) = i (a₁ b₂ - b₁ a₂ - c₁ d₂ + d₁ c₂ ) + j (a₁ c₂ + b₁ d₂ - c₁ a₂ - d₁ b₂ ) + k (a₁ d₂ - b₁ c₂ + c₁ b₂ - d₁ a₂ )

Division

Die Division zweier Quaternionen wird nicht mit einem Bruchstrich, sondern unter Verwendung eines negativen Exponenten dargestellt. Der Grund dafür ist, dass die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ ist und man daher zwischen und unterscheiden muss.

Wenn die einzelnen Elemente des Quaternion eine Längeneinheit besitzen bzw. das Quaternion normalisiert wurde, so gilt:

q^-1 = q

Wobei q die Konjugation des Quaternions q ist. Daher gilt:

Wenn das Quaternion eine andere Einheit besitzt, teilt man das konjungierte Quaternion durch einen skalaren Wert, welcher sich aus dem Quadrat der Amplitude des Quaternions ergibt, um den reziproken Wert zu erhalten:

Ausgeschrieben ergibt sich die folgende Form:

Der Beweis ergibt sich aus der einfachen Umformung der Division in eine Multiplikation:

Konjugation

Die Konjugation eines Quaternions hat den selben Skalarteil. Jedoch sind die Vorzeichen aller komplexen Teile - d. h. der einzelnen Komponenten des Vektorteils - negiert:

Wenn man ein Quaternion mit seiner Konjugation das Punktprodukt bildet erhält man eine reelle Zahl, aus der man den Betrag des Quaternions bilden kann:

Es gilt zudem:

Die Konjugation eines Quaternions, welches eine Drehung darstellt, führt zu einer Drehung in die entgegengesetzte Richtung.

Drehungen

Quaternionen können zur Darstellung von Drehungen im dreidimensionalen Raum verwendet werden. Drehungen werden hierbei mit Hilfe von Multiplikationen durchgeführt.

Drehungen von Quaternionen haben durch die drei dargestellten Dimensionen (x y z) drei Freiheitsgrade . Die einzelnen Freiheitsgrade stehen dabei jeweils für eine Drehung um eine der Achsen.

Ein Quaternion, welches lediglich eine Drehung darstellen soll, muss normiert werden, so dass

gilt.

Die Drehung mit Hilfe eines solchen normierten Quaternions q multipliziert mit einem Punkt p im Raum und dem konjungierten Quaternion q ergibt die neue Position für den Punkt p'. Bei dieser Art der Drehung werden keine Matrizen benötigt.

Durch Einsetzen des Punktes p und des Quaternions q (in vektorieller Schreibweise) erhält man:

Durch Auflösen und Vereinfachen in eine dreidimensionale Darstellung dieser Gleichung erhält man hieraus die folgende Matrixdarstellung:

Achsenwinkel-Darstellung

Ein Quaternion, welches eine Drehung darstellt, ist normalisiert und wird in der Achsenwinkel-Darstellung folgendermaßen dargestellt:

q_r = w_q + i x_q + j y_q + k z_q

Hierbei gilt:

• ist der Drehwinkel
• (x,y,z) ist ein normalisierter Vektor, der die Drehachse darstellt. Beispielsweise ergibt der Vektor (1,0,0) eine Drehung um die X-Achse und der Vektor (0,1,0) eine Drehung um die Y-Achse.

Diese Art der Darstellung leitet sich von der Achsenwinkel-Darstellung der Drehungen im zweidimensionalen Raum ab.

Das Quaternion i stellt somit eine Drehung von 180° um die X-Achse, j eine Drehung von 180° um die Y-Achse und k eine Drehung von 180° um die Z-Achse dar. Somit entspricht einer Drehung von 360° um die jeweilige Achse.

Dies führt dazu, dass das Quaternion (a + ib + jc + kd) dieselbe Drehung wie das Quaternion ( - a - ib - jc - kd) darstellt. Die Quaternionen 1 und -1 sind daher die IdentitätsDrehung (d.h. keine Änderung der Lage). Ein Quaternion, das um 360° gedreht wird, wird invertiert. Ein Quaternion ist also auch ein sogenannter Spinor.

siehe auch: Drehmatrix

Negation und Konjugation

Eine konjungierte Drehung von Punkt A nach Punkt B ergibt eine Drehung von Punkt B nach Punkt A. Hierbei ist:

q_r Ein Rotations-Quaternion.

q_A Die, durch einen Vektor beschriebene, Position A im Raum.

q_B Die, durch einen Vektor beschriebene, Position B im Raum.

Durch die Negation rotiert das Rotations-Quaternion um -360°.

Auswirkung von Negation und Konjugation auf die Drehung

Quaternion	Drehung
qr = (w + i x + j y + k z)
qr = (w - i x - j y - k z)
- qr = ( - w + i x + j y + k z)
- qr = ( - w - i x - j y - k z)
(1) Gilt nicht für Fermionen. Diese benötigen eine 720° Drehung um in die Ausgangslage zurück zu kommen.

Spiegelung

Eine Spiegelung kann als eine spezielle Form der Drehung aufgefasst werden und wird durch einen negativen Skalarteil ausgedrückt:

q_sp = -1

Jede durch ein Quaternion dargestellte Drehung kann als eine Folge von zwei (oder mehr) Spiegelungen ausgedrückt werden.

Betrag des Quaternions

Der Betrag (bzw. die Länge) eines Quaternions entspricht dem Betrag eines vierdimensionalen Vektors. Daher gilt die Formel:

Weiters gilt:

Normiertes Quaternion

Ein normiertes Quaternion (oder Einheitsquaternion) ist ein Quaternion mit einem Betrag von Eins. Es gilt daher:

||q_n || = 1

Wobei q_n das normierte Quaternion ist. Das normierte Quaternion gibt also nur eine Richtung, jedoch keine spezifische Länge an. Man erhält es wenn man die einzelnen Komponenten des Quaternions durch seinen Betrag teilt:

Für ein normalisiertes Quaternion gilt:

Dadurch werden Divisionen von Quaternionen wesentlich vereinfacht.

Das zugrundeliegende Prinzip ist dabei das selbe wie bei einer orthogonalen Matrix welche ebenfalls zur Repräsentation von Drehungen verwendet werden können.

siehe auch: Einheitsvektor, Normierter Raum

Polardarstellung

Jedes Quaternion kann in der Polarform dargestellt werden. Dazu benötigt man eine skalare Amplitude, den zugehörigen Winkel und einen dreidimensionalen Richtungs-Vektor i.

Hierbei gilt:

Dabei zeigt sich, dass i² = -1 gilt:

Dadurch ist der Vektor i analog zur imaginären Zahl i.

Umwandlung von Drehungs-Quaternionen

Quaternionen, die eine Drehung darstellen, können bei Bedarf in verschiedene Darstellungsformen konvertiert werden.

Matrixdarstellung

Um ein normalisiertes Quaternion q_dreh , welches eine Drehung darstellt, in eine Drehmatrix M_dreh umzuwandeln, kann man die folgende Umwandlung verwenden:

mit

Umgekehrt kann man diese Matrix wieder zurück in ein Quaternion umwandeln:

für m_{0, 0} + m_{1, 1} + m_{2, 2} + 1 > 0

Achsenwinkel Darstellung

Um ein Quaternion q_d , welches eine Drehung darstellt, in seine Achsenwinkel-Darstellung q_w umzuwandeln, kann man das folgende Gleichungssytem verwenden:

Die Umkehrung ergibt sich durch Einsetzen und Auflösung der Gleichung. Allerdings muss für die Umkehrung sowohl die Drehachse als auch das resultierende Quaternion normalisiert sein:

x²_w + y²_w + z²_w = 1

Euler-Winkel Darstellung

Um ein Quaternion q = w + i x + j y + k z, das eine Drehung darstellt, in die einzelnen Eulerwinkel umzuwandeln, kann man die folgende Gleichung verwenden:

Diese Gleichung jedoch gilt nicht für die beiden Pole .

Siehe auch: arg

Umgekehrt gilt:

Funktionen

Im Folgenden sind einige wichtige Funktionen für den Umgang mit Quaternionen aufgelistet.

Vorzeichen

Die Funktion sgn liefert das Vorzeichen eines Quaternions zurück, indem es das Quaternion durch dessen Betrag teilt:

Skalarteil

Den Skalarteil eines Quaternions erhält man, indem man zu dem Quaternion den konjugierten Wert addiert. Dadurch kürzt sich der Vektorteil weg:

Vektorteil

Den Vektorteil erhält man, analog wie bei der Funktion für den Skalarteil, indem man vom Quaternion das konjugierte Quaternion subtrahiert:

Vektor(q) = q = i b + j c + k d

Quaternion-Argument

Diese Funktion liefert den Winkel zwischen dem skalaren Wert (d. h. der reellen Ebene) und dem durch das Quaternion dargestellten Vektor zurück.

Exponenten und Logarithmus

Durch die Möglichkeit Quaternionen zu teilen, kann man exponentielle und logarithmische Funktionen definieren.

• Natürlicher Exponent:

  

• Exponent:

  für

• Natürlicher Logarithmus:

  

• Exponentielle Multiplikation:

Trigonometrie

Auch trigonomentrische Funktionen lassen sich definieren.

• Sinus:

  

• Kosinus:

  

• Tangens:

  

Wie auch die entsprechenden Umkehrfunktionen.

• Arkussinus:

  

• Arkuskosinus:

  

• Arkustangens:

  

Hyperbel

Zusätzlich lassen sich die Hyperbelfunktionen definieren:

• Sinus Hyperbolikus:

  

• Kosinus Hyperbolikus:

  

• Tangens Hyperbolikus:

  

Dazu die jeweiligen Inversen:

• Inverser Sinus Hyperbolikus:

  

• Inverser Kosinus Hyperbolikus:

  

• Inverser Tangens Hyperbolikus:

  

Exponentialfunktion

Man kann für Quaternionen q eine Fortsetzung der Exponentialfunktion definieren:

Diese unendliche Reihe konvergiert für jedes Quaternion, und lässt sich in der Form

schreiben, wobei q = a + q₀ ein Quaternion mit einer reellen Zahl a und einem reinen Quaternion q₀ ist.

Das Exponential eines reinen Quaternions q₀ = ix + jy + kz kann so berechnet werden:

wobei

ist. Diese Gleichung geht für y = z = 0 in die Eulersche Identität über:

Die Exponentialfunktion erfüllt für Quaternionen mit ab = ba die Funktionalgleichung

exp(a + b) = exp(a)exp(b).

Andernfalls ist das nicht garantiert, z.B. ist

aber

.

Praktische Anwendungen

3D-Schnitt einer quaternionischen (4D-)Julia-Menge

Arthur Cayley entdeckte, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen. Genutzt wird dies heutzutage im Bereich der interaktiven Computergrafik, insbesondere bei Computerspielen, sowie bei der Steuerung und Regelung von Satelliten. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Drehmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere, wenn viele Drehungen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den Eulerwinkeln, zur Programmierung von Industrierobotern (z.B. ABB) genutzt.

Da Quaternionen vierdimensionale Vorgänge beschreiben können, ergeben sich weitreichende Einsatzmöglichkeiten. Man kann durch die Verwendung der Quaternionen meist auf getrennte Gleichungen zur Berechnung von Zeit und Raum verzichten. Dies bietet Vorteile in der Physik, unter anderem in den Gebieten Mechanik, Wellengleichungen, Spezielle Relativitätstheorie und Gravitation, Elektromagnetismus sowie der Quantenmechanik.

In der Physik ist die Matrixalgebra, die von den Pauli-Matrizen aufgespannt wird, isomorph zu den Quaternionen. Insbesondere bilden die Einheitsquaternionen eine nichttriviale Überlagerung der 3-dimensionalen orthogonalen Gruppe SO(3), d.h. die Gruppe der Einheitsquaternionen ist isomorph zur Gruppe Spin(3).

Siehe auch: Spinor

Historisch bedeutsam ist, dass Maxwell sein Gleichungssystem 1873 ebenfalls in Quaternionen-Schreibweise publizierte.

Verwandte Themen

Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Namen "hyperkomplexe Zahlen" zusammengefasst. Beispielsweise sind die Cayley-Zahlen oder Oktaven ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen.

Trivia

Am 16. Oktober 1843 ging Sir William Rowan Hamilton am Royal Canal entlang, auf dem Weg von seiner Wohnung im Observatorium von Dunsink zur Royal Irish Academy. Diesen Gang machte Hamilton sehr häufig, und er führte ihn an der Brougham Bridge vorbei (die heute Broombridge heißt). An dieser Stelle hatte Hamilton den Geistesblitz, der längst zur Folklore der Mathematikgeschichte gehört: Er fand geeignete Multiplikationsregeln für Quaternionen. Und sogleich ritzte er sie mit einem Taschenmesser in einen Stein der Brücke. An der Brücke wurde eine Gedenktafel angebracht.

Literatur

• John H. Conway, Derek A. Smith, On Quaternios and Octonions, A K Peters Ltd, 2003, ISBN 1568811349 (englisch)
• Jack B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press, 2002, ISBN 0691102988 (englisch)
• W. Bolton, Complex Numbers (Mathematics for Engineers), Addison Wesley, 1996, ISBN 0582237416 (englisch)
• Jack B. Kuipers, J. B. Kuipers, Quaternions & Rotation Sequences, Princeton University Press, 1999, ISBN 0691058725 (englisch)
• Andrew J. Hanson, Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0120884003 (englisch)

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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