Quaternion

Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo William Rowan Hamilton die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.

Die Quaternionen (von lat. quaternio „Vierheit“) sind ein Zahlensystem ähnlich den komplexen Zahlen und eine Erweiterung der reellen Zahlen. Erdacht wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton; sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton. Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit bezeichnet. Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen Raumes, insbesondere im Kontext von Drehungen, daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen. Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes.

Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen dreier neuer Zahlen i, j und k. So ergibt sich in Analogie zu den Komplexen Zahlen ein vierdimensionales Zahlensystem mit einem eindimensionalen Realteil und einem dreidimensionalen Imaginärteil, der auch Vektoranteil genannt wird.

Jede Quaternion lässt sich eindeutig in der Form

mit reellen Zahlen x₀ , x₁ , x₂ , x₃ schreiben. Die neuen Zahlen i, j, k werden gemäß den Hamilton-Regeln

multipliziert. Die Multiplikation ist nicht kommutativ, d. h. für zwei Quaternionen x und y sind die beiden Produkte und im Allgemeinen verschieden. Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, Assoziativgesetz und Distributivgesetz bleiben jedoch erhalten.

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper; das bedeutet insbesondere, dass es zu jeder Quaternion eine inverse Quaternion x^-1 gibt, so dass

gilt. (Die Notation wird aufgrund der Nichtkommutativität vermieden, siehe unten.) Die Quaternionen sind eine vierdimensionale -Algebra.

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