Prähilbertraum

Induzierte Norm

Jedes innere Produkt induziert auf dem zugrunde liegenden Vektorraum eine Norm

Der Beweis der Dreiecksungleichung für die so definierte Abbildung erfordert dabei als nichttrivialen Zwischenschritt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Mit der induzierten Norm ist jeder Prähilbertraum ein normierter Raum, in dem die Parallelogrammgleichung

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gilt. Umgekehrt gilt mit dem Satz von Jordan-von Neumann, dass jeder normierte Raum, in dem die Parallelogrammgleichung erfüllt ist, ein Prähilbertraum ist. Das zugehörige Skalarprodukt kann dabei durch eine Polarisationsformel definiert werden, im reellen Fall beispielsweise über

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