Prähilbertraum

Formale Definition

Ein wesentlicher Aspekt der klassischen (euklidischen) Geometrie ist die Möglichkeit, Längen und Winkel zu messen. In der axiomatischen Begründung der Geometrie wird dies durch die Axiome der Kongruenz gesichert. Führt man ein kartesisches Koordinatensystem ein, so können die Längen und Winkel mit Hilfe des Skalarprodukts aus den Koordinaten berechnet werden. Um nun Längen und Winkel vom euklidischen Raum auf allgemeine Vektorräume zu übertragen, lässt man den Bezug auf eine bestimmte Basis fallen und charakterisiert abstrakte innere Produkte durch die für die Längenmessung entscheidenden Eigenschaften. Das führt zu folgender Definition:

Skalarprodukt

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform, das ist: eine Abbildung

,

die für alle x, y, z aus V und für alle aus K die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt:

• (1)      (nicht negativ);
• (2)      (definit);
• (3)      (Hermitesch);
• (4a)    und
  (4b)    (linear im zweiten Argument).

Aus den Bedingungen (3) und (4) folgt

• (5a)    und
  (5b)    (semilinear im ersten Argument)

Wegen (4) und (5) ist eine Sesquilinearform.

Bemerkungen:

• Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet komplexe Konjugation. In einem reellen Vektorraum (also wenn ) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung. Es folgt:

In einem reellen Vektorraum ist (3) gleichbedeutend mit

• (3')    (symmetrisch)

und das Skalarprodukt ist eine symmetrische Bilinearform.

• Diese Definition, nach der das Skalarprodukt semilinear im ersten Argument und linear im zweiten ist, herrscht in der theoretischen Physik vor. Manchmal wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt:

• (4a')    (Linearität im ersten Argument) und daher
• (5a')    (Semilinearität im zweiten Argument)

Man muss also aufpassen, ob das innere Produkt in einem gegebenen Text linear im ersten oder im zweiten Argument ist.

Prähilbertraum

Ein Prähilbertraum ist dann ein reeller oder komplexer Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt.

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