Prähilbertraum

Beispiele

Komplexe Zahlen

Der Körper selbst mit dem Skalarprodukt ist ein unitärer Vektorraum.

Der Vektorraum Kⁿ

Für wird durch

ein Skalarprodukt definiert, das den Vektorraum Kⁿ zu einem (Prä-)hilbertraum macht, da dann auch Vollständigkeit vorliegt.

Stetige Funktionen

Ein anderes Beispiel für einen reellen Prähilbertraum ist der Raum aller stetigen Funktionen von einem reellen Intervall [a, b] nach mit dem inneren Produkt

,

wobei p eine positive Gewichtsfunktion (oder "Belegung") ist (statt p(x) > 0 genügt es, mit schwachen Zusatzbedingungen zu fordern). Eine orthogonale Basis dieses Raums heißt orthogonales Funktionensystem; Beispiele für solche Funktionensysteme sind die trigonometrischen Funktionen, die in Fourier-Reihen verwendet werden, die Legendre-Polynome, die Tschebyschow-Polynome, die Laguerre-Polynome, die Hermite-Polynome usw.

Hilbertraum

Jeder Hilbertraum ist ein Prähilbertraum.

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