Prädikatenlogik

Zentrale Begriffe

Quantoren

Hauptartikel: Quantor

Quantoren ermöglichen es, Aussagen darüber zu machen, auf wie viele Individuen ein Prädikat zutrifft. Der Existenzquantor sagt aus, dass ein Prädikat auf mindestens ein Individuum zutrifft, beschreibt also die Existenz mindestens eines unter das Prädikat fallenden Gegenstandes. Der Allquantor sagt aus, dass ein Prädikat auf alle Individuen zutrifft.

Der Existenzquantor wird in halbformaler Sprache als „es gibt mindestens ein Ding, sodass...“ oder „es gibt mindestens ein Ding, für das gilt...“ ausgedrückt. In formaler Sprache werden die Zeichen oder verwendet. Der Allquantor wird in halbformaler Sprache als „Für jedes Ding gilt: ...“ ausgedrückt, in formaler Sprache durch eines der Zeichen oder .

Unmittelbar einsichtig ist die Verwendung von Quantoren bei einstelligen Prädikaten, zum Beispiel „_ ist ein Mensch.“ Die existenzquantifizierte Aussage würde lauten „Es gibt mindestens ein Ding, für das gilt: es ist ein Mensch,“ in formaler Sprache: . Dabei ist M_ die Übersetzung des einstelligen Prädikats „_ ist ein Mensch“ und ist der Existenzquantor. Der Buchstabe x ist keine Individuenkonstante, sondern erfüllt dieselbe Funktion, die in der halbformalen Formulierung das Wort „es“ erfüllt: Beide kennzeichnen die Leerstelle, auf die sich der Quantor bezieht. Im gewählten Beispiel erscheint das als redundant, weil es nur einen Quantor und nur eine Leerstelle enthält und daher keine Mehrdeutigkeit möglich ist. Im allgemeinen Fall, in dem ein Prädikat mehr als eine Leerstelle und ein Satz mehr als einen Quantor und mehr als ein Prädikat enthalten kann, wäre ohne die Verwendung geeigneter „Querverweiszeichen“ keine eindeutige Lesart vorgegeben.

Zum Herstellen der Beziehung zwischen einem Quantor und der Leerstelle, auf die er sich bezieht, werden meist Kleinbuchstaben vom Ende des lateinischen Alphabets verwendet, zum Beispiel die Buchstaben x, y und z; sie werden als Individuenvariablen bezeichnet. Die Leerstelle, auf die sich ein Quantor bezieht, bzw. die Variable, die zum Herstellen dieser Verbindung verwendet wird, bezeichnet man als durch den Quantor gebunden.

Bindet man in einem mehrstelligen Prädikat eine Leerstelle durch einen Quantor, dann entsteht ein Prädikat von um eins niedrigerer Stelligkeit. Das zweistellige Prädikat L_₁_₂, „_₁ liebt _₂“, das die Relation des Liebens ausdrückt, wird durch Binden der ersten Leerstelle durch den Allquantor zum einstelligen Prädikat

FormelGen :$\forall x Lx\_$: Kein Paramter für Hoch/Tiefstellung

Interessant sind Sätze mit Prädikaten, in denen mehr als eine Leerstelle durch einen Quantor gebunden wird. Die Möglichkeit der Behandlung solcher Sätze macht die große Leistungsfähigkeit der Prädikatenlogik aus, ist aber zugleich der Punkt, an dem das System für den Neueinsteiger etwas kompliziert wird und intensiverer Auseinandersetzung und Übung bedarf. Als kleiner Einblick in die Möglichkeiten der Prädikatenlogik sollen für das einfache zweistellige Prädikat L_₁_₂, das zum Beispiel wie oben gelesen werden kann als „_₁ liebt _₂“, alle Möglichkeiten aufgezählt werden, die Leerstellen durch Quantoren zu binden:

Hasse-Diagramm der Implikationen

Die Matrizen veranschaulichen die Formeln für den Fall, dass fünf Individuen als Liebende und Geliebte in Frage kommen. Abgesehen von den Sätzen 1 und 3/4 handelt es sich um Beispiele. Die Matrix zu Satz 2 steht z.B. für „b liebt sich selbst.“; die zu Satz 9/10 für „c liebt b.“

Wichtig und instruktiv ist es, zwischen den Sätzen 6, , und 7, , zu unterscheiden: In beiden Fällen wird jeder geliebt; im ersten Fall jedoch wird jeder von irgendjemandem geliebt, im zweiten Fall wird jeder von ein und demselben Individuum geliebt.

Zwischen einigen dieser Sätze bestehen Folgerungszusammenhänge - so folgt etwa aus Satz 7 Satz 6, aber nicht umgekehrt. (Siehe Hasse-Diagramm)

Mit dreistelligen Prädikaten können Formeln wie gebildet werden. Mit dem Prädikat „x will, dass y z liebt.“ bedeutet diese Formel „Jemand wünscht allen jemanden zu lieben.“ befindet sich eine Liste aller Formeln mit dreistelligen Prädikaten.

In natürlicher Sprache treten Quantoren in sehr unterschiedlichen Formulierungen auf. Oft werden Wörter wie „alle,“ „keine,“ „einige“ oder „manche“ verwendet, manchmal ist die Quantifizierung nur aus dem Zusammenhang erkennbar – zum Beispiel meint der Satz „Menschen sind sterblich“ in der Regel die Allaussage, dass alle Menschen sterblich sind.

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