Potentielle und aktuale Unendlichkeit

Begriffsgeschichte

Anaximander führt den Begriff eines unbegrenzten (a-peiros) ein. Unendlichkeit ist gleichermaßen grenzenlos wie unbestimmt.

Platons Darlegungen lässt sich die Idee einer aktualen Unendlichkeit entnehmen. Sie ist das bestimmte Formprinzip, das Eine, welches die materielle Mannigfaltigkeit der Materie durch Eingrenzung strukturiert.

In der Ontologie des Aristoteles ist der Gegensatz von Potentialität und Aktualität grundlegend und wird auch auf Mengen von Objekten angewendet. Eine Menge, welcher prinzipiell unendlich viele Objekte hinzufügbar sind, nennt Aristoteles „potentiell“ unendlich. Davon unterscheidet er den Begriff einer Menge, welche wirklich bereits unendlich viele Objekte enthält. Dies ist nach Aristoteles unmöglich. Damit wendet sich Aristoteles auch davon ab, dass ein bestimmtes, unendliches Prinzip die Einheit der endlichen Realität umfassend erklärt. „Unendlich“ bezieht sich ihm zufolge nur auf „dasjenige, außerhalb dessen immer noch etwas ist“.

Dieser Ausschluss einer aktualen Unendlichkeit wird in der antiken und mittelalterlichen Religionsphilosophie oftmals für Beweise der Existenz Gottes verwendet. Denn damit ist ein Fortschreiten, das prinzipiell unendlich viele Schritte vollziehen kann, niemals abschließbar. Darum hält man eine Erklärbarkeit der Realität für undurchführbar, welche bei bestimmten Objekten startet, deren Ursachen anführt, und so jeweils fortschreitet. Stattdessen wird Gott als Erstursache angenommen, die selbst nicht Element einer solchen Ursachenreihe ist. So etwa bei Thomas von Aquin.

Augustinus identifiziert, dem Platonismus folgend, Gott direkt mit dem aktualen Unendlichen.

Die antiken und mittelalterlichen ontologischen und religionsphilosophischen Diskussion beziehen sich vielfach auf diese Grundlagen.

Am Übergang zu Renaissance bzw. früher Neuzeit kombiniert Nikolaus von Kues diese Traditionen mit mathematischen Problemen. In zahlreichen arithmetischen und geometrischen Analogien versucht er zu verdeutlichen, dass es dem endlichen, unterscheidenden Verstand unmöglich ist, die aktuale Einheit des Unendlichen zu erfassen. Ein Beispiel dafür ist die Unmöglichkeit, durch fortschreitende Einbeschreibung von Polygonen mit zunehmender Kantenzahl in einen Kreis gerade und krumme Linie aktual zur Deckung zu bringen. Dieses Problem der Kreisquadratur hatte bereits zahlreiche Behandlungen gefunden, u.a. bei Thomas Bradwardine. In der jüngeren Forschung werden vielfach die Überlegungen des Cusanus mit Problemen der Philosophie der Mathematik verglichen, wie sie sich seit den frühen Vertretern eines mathematischen Konstruktivismus stellen, sowie mit den Überlegungen Georg Cantors.

Cantor war der Meinung, dass das potentiell Unendliche das aktual Unendliche voraussetzt und damit ein klarer Gegner von Johann Friedrich Herbart, der den Begriff des Unendlichen wiederum als wandelbare Grenze ansah, die sich in jedem Augenblick weiter verschieben kann bzw. muss.

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