Polynominterpolation

Lösungsverfahren

Obiges Gleichungssystem ließe sich beispielsweise mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen. Der Aufwand dafür ist mit allerdings vergleichsweise groß. Bei Wahl einer anderen Basis als der Standardbasis zur Beschreibung des Polynoms P kann der Aufwand verringert werden.

Lagrangesche Interpolationsformel

Eher für theoretische Betrachtungen günstig ist eine Darstellung in der Lagrange-Basis. Die Basisfunktionen sind die Lagrange-Polynome

die so definiert sind, dass

FormelGen :$\ell_i(x_k) = \delta_{ik} = \left\{\begin{matrix} 1 & \text{falls } i=k \\ 0 & \text{falls } i \neq k \end{matrix} . $: Parser error: missing }

gilt, wobei das Kronecker-Delta darstellt.Die Lösung des Interpolationsproblems lässt sich dann einfach angeben als

mit den Stützwerten f_i . Dies wird häufig benutzt, um die Existenz der Lösung des Interpolationsproblems zu beweisen. Damit entspricht die Matrix genau der Einheitsmatrix. Ein Vorteil der Lagrange-Basis ist somit, dass die Basisfunktionen von den Stützwerten f_i unabhängig sind. Dadurch lassen sich verschiedene Sätze von Stützwerten f_i mit gleichen Stützstellen x_i schnell interpolieren, wenn die Basisfunktionen einmal bestimmt worden sind. Ein Nachteil dieser Darstellung ist jedoch, dass alle Basisvektoren bei Hinzunahme einer einzelnen Stützstelle komplett neu berechnet werden müssen, weshalb dieses Verfahren für die meisten praktischen Zwecke zu aufwändig ist.

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