Polynominterpolation

Interpolationsgüte

Fehlerabschätzung

Gegeben sei eine Funktion f, deren n+1 Funktionswerte f_i an den Stellen x_i durch das Polynom P interpoliert werden. Mit I sei das kleinste Intervall bezeichnet, das die Stützstellen x_i und eine Stelle x enthält. Ferner sei f (n+1)-mal stetig differenzierbar auf I. Dann existiert ein für das gilt:

Insbesondere ist also bezüglich der Supremumsnorm auf [a, b]:

Fehleroptimierung nach Tschebyschow

| edition = 1| publisher = Vieweg Studium, Nr.32, Vieweg Verlagsgesellschaft| isbn = 3528072326| last = Werner| first = Jochen| title = Numerische Mathematik| date = 1992| chapter = 10.4}}

• Auch hier (4.1.3.)===

Für größere n clustern die Tschebyschow-Punkte an den Intervallrändern.

Der Fehler hängt also von einer Ableitung von f ab und von dem Produkt , also den Stützstellen x_i . Manchmal ist man in der Position, dass man sich Stützstellen selbst wählen kann; Etwa, wenn man ein physikalisches Experiment durchführt oder aber auch bei einigen Verfahren zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen. In diesem Fall ist die Frage interessant, für welche Stützstellen das Produkt w_n (x) in der Maximumsnorm minimal wird.

Tschebyschow hat diese Frage vollständig geklärt: Betrachte die Polynome T_{n + 1} (x) = cos((n + 1)arccos(x)) mit den Nullstellen . (Die „Tschebyschow-Polynome“ und „Tschebyschow-Punkte“) Die ersten Tschebyschow-Polynome sind:

T₂ (x) = 2x² -1, T₃ (x) = 4x³ - 3x, T₄ (x) = 8x⁴ - 8x² + 1

Man kann dann beweisen dass jedes Polynom der Form w_n auf dem Intervall [-1, 1] durch ein normiertes Tschebyschow-Polynom beschränkt bleibt. Diese Aussage kann dann mit der Transformation

auf den Fall eines allgemeinen Intervalls übertragen werden. Der Beweis liefert auch die Abschätzung

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