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Polynome

Sei die Menge der natürlichen Zahlen, K ein Körper und der Vektorraum der Folgen in K (Abbildungen , . Wir definieren

nur für endlich viele i}

ist ein Untervektorraum, da komponentenweise Addition und Skalarmultiplikation die Eigenschaft, dass nur endlich viele Komponenten sind, erhalten (Vektorraum der Abbildungen siehe Beispiel 15XV).

Wir erklären die Multiplikation zweier Elemente a = (a₀ , a₁ , a₂ , ...) und wie folgt: mit

Dadurch wird aus K[x] eine kommutative K-Algebra.

K[x] heißt der Polynomring über K.

Bemerkung

Man kann den Vektor (0, 1, 0, ...) mit x bezeichnen. Aus der Definition der Multiplikation folgt dann, dass

mit 1 an der k-ten Stelle ist. Also lässt sich ein beliebiger Vektor

auch in der Form

a = a₀ (1, 0, ...) + a₁ (0, 1, 0, ...) + ... + a_n (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...)

schreiben. Die oben definierte Multiplikation wird dann zur üblichen Polynommultiplikation.

Polynomabbildung

Sei ein Polynom. Dann heißt mit

für die zugehörige Polynomabbildung (). Diese Abbildung wertet das Polynom p an der Stelle aus.

Man erhält einen K-Algebra-Homomorphismus indem man jedem Polynom seine Polynomabbildung zuordnet .

Bemerkungen

Betrachten wir die reellen Polynome als Teilmenge der Abbildungen von nach . Dann bedeutet dies nichts anderes, als dass der -Algebra-Homomorphismus injektiv ist.

Tatsächlich kann man für alle Körper K mit unendlich vielen Elementen zeigen, dass injektiv ist (@todo Ref)

Hat K nur endlich viele Elemente, so ist nicht notwendigerweise injektiv. Das Polynom definiert die Polynomabbildung mit und . Also (=Nullpolynom) obwohl .

Ist ein beliebiger endlicher Körper, so tritt das gleiche Phänomen für auf, da ist.

Grad eines Polynoms

Sei ein Polynom, . Der Grad von p ist

Für das Nullpolynom definiert man .

Satz 81BL (Rechenregeln für Polynomgrad)

Für gilt

deg(PQ) = deg P + deg Q
, wobei die Ungleichheit nur dann auftritt, wenn deg P = deg Q = n und p_n = - q_n .

Beweis

(i): Sei n = deg P, also P = p₀ + p₁ x + ... + p_n xⁿ mit und m = deg Q, also Q = q₀ + q₁ + ... + q_m x^m mit . Dann gilt

PQ = p₀ q₀ + (p₀ q₁ + p₁ q₀ )x + ... + (p_n q_m )x^{n + m} .

Da K ein Körper, also insbesondere nullteilerfrei ist, gilt , da und . Folglich deg PQ = n + m = deg P + deg Q.

(ii): Es gilt

In den ersten beiden Fällen haben wir deg(P + Q) = max{deg P, deg Q} Im dritten Falls haben wir = max{n, m} = max{deg P, deg Q}, wobei die Ungleichheit nur für p_n + q_n = 0 auftreten kann.

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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