Polynomdivision

Pseudo-Division

Beispiel

Als Beispiel soll eine Pseudo-Division im Polynomring über den ganzen Zahlen durchgeführtwerden. Seien

p(x) = 2x² + 1 und q(x) = 5x + 5

Eine normale Polynomdivision ist hier nicht möglich, da 5, derLeitkoeffizienten von q, in nicht invertierbar ist.Wir können aber p mit 5 multiplizieren. Nun kann man qmit 2x multipliziert abziehen und erhält

5p(x) - 2xq(x) = 10x² + 5 - 10x² - 10x = -10x + 5

Der Grad von -10x + 5 ist dabei kleiner alsderjenige von p aber noch nicht kleiner als der vonq. Ziehen wir nun von diesem Zwischenergebnis - 2-mal q ab, erhalten wir

-10x + 5 - ( - 2)q(x) = -10x + 5 + 10x + 10 = 15

Da 15 als konstantes Polynom einen kleineren Grad alsq besitzt, sind wir hier fertig. Rückwärts einsetzenergibt

15 = (5p(x) - 2xq(x)) - ( - 2)q = 5p(x) - (2x - 2)q(x)

oder umgeformt

5p(x) = (2x - 2)q(x) + 15

Eine Probe bestätigt dies.

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