Polyeder

Begrifflichkeiten

Die meisten Spielwürfel sind polyederförmig.

Beispiele für Polyeder aus dem Alltag sind (in ihrer üblichen Bauweise) Schränke, Pyramiden, Häuser, Kristalle oder Spielwürfel. Keine Polyeder sind Kugeln, Kegel, Flaschen, Tortenstücke, da sie krumme Randflächen besitzen. Die wichtigsten Polyeder in der geometrischen Anwendung sind Quader, Prismen, Pyramiden und Spate (Parallelepipede).

Ein Polyeder heißt beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, in der das Polyeder vollständig enthalten ist. Unbeschränkte Polyeder mit nur einer Ecke werden Polyederkegel genannt.

Ein Polyeder heißt konvex, wenn für je 2 Punkte des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen Punkten vollständig im Polyeder liegt.

Für konvexe und beschränkte Polyeder gilt der eulersche Polyedersatz:

E + F - K = 2

Dabei ist E die Anzahl der Ecken, F die Anzahl der Flächen und K die Anzahl der Kanten.

Ein toroidales Polyeder, zusammengesetzt aus 48 gleichseitigen Dreiecken

Gegenbeispiel: Die Punkte des dreidimensionalen Raumes mit den (rechtwinkligen kartesischen) Koordinaten (x,y,z), wobei der Absolutbetrag von x, y und z jeweils kleiner oder gleich 2 ist, bilden einen Würfel der Kantenlänge 4. Wenn wir aus ihm die Punkte entfernen, deren Koordinaten alle vom Betrag <1 sind, entsteht ein nichtkonvexes Polyeder, nämlich ein Würfel, aus dessen Innerem ein kleinerer Würfel ausgebohrt ist, mit 16 Ecken, 24 Kanten und 12 Flächen, in dem der eulersche Polyedersatz nicht gilt. Für zusammenhängende Polyeder (zu denen das obige Beispiel nicht gehört) gilt allgemein

mit der Euler-Charakteristik . Für einen Torus zum Beispiel ist . Das rechts abgebildete Polyeder ist ein Beispiel dafür. Es hat 24 Ecken, 72 Kanten und 48 Flächen: E - K + F = 24 - 72 + 48 = 0.

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