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Polarkoordinaten

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Neben den kartesischen Koordinaten, die auf einem geradlinigen Koordinatensystem beruhen, sind auch krummlinige Koordinaten möglich. Von besonderer Bedeutung sind die Polarkoordinaten. Sie sind durch einen Ursprungspunkt O, den Pol, und eine ausgezeichnete Richtung v charakterisiert. Punkte in der Ebene werden über zwei Koordinaten, den Winkel mit dem Richtungsvektor v und dem Abstand r des Punktes vom Pol gekennzeichnet.

Alle Punkte der Ebene (bis auf den Pol) sind im Polarkoordinatensystem eindeutig darstellbar. Für den Pol gilt bei r = 0, dass der Winkel beliebig gewählt sein kann.

Beziehungen zu kartesischen Koordinaten

Für die Umrechung von kartesischen und Polarkoordinaten nehmen wir an, dass die Ursprünge zusammenfallen und die Richtung der Polarkoordinaten in Richtung der x-Achse verläuft.

Sei der Punkt A mit den kartesischen Koordinaten A(a_x | a_y ) und den Polarkoordinaten

gegeben, dann gelten folgenden Beziehungen:

Formel 15VP (Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten)

r² = a²_x + a²_y

Diese leiten sich aus dem Satz des Pythagoras bzw. der Definition des Tangens her.

Hieraus kann man bei gegebenen kartesischen Koordinaten die Polarkoordinaten bestimmen.

Andererseits gilt mit den Definitionen von Sinus und Cosinus:

Formel 15VQ (Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordianten)

womit man aus gegebenen Polarkoordinaten die kartesischen Koordinaten bestimmen kann.

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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