Poisson-Verteilung

Herleitung

Die Poisson-Verteilung ergibt sich einerseits als Grenzfall der Binomial-Verteilung, andererseits lässt sie sich aus grundlegenden Prozesseigenschaften (poissonsche Annahmen) ableiten. Wenn diese Eigenschaften einem Geschehen in guter Näherung zugeordnet werden können, wird die Ereignishäufigkeit Poisson-verteilt sein.

Man betrachtet ein Raum- oder Zeitkontinuum w (das Bernoulli-Experiment wird sehr oft, sozusagen an jedem Punkt des Kontinuums durchgeführt), 'auf' dem zählbare Ereignisse mit konstanter mittlerer Anzahl g pro Einheitsintervall stattfinden. Nun richtet man den Blick auf ein 'genügend' kleines Kontinuumsintervall , das je nach Experiment einen Bereich, ein Zeitintervall, eine abgegrenzte Strecke, Fläche oder Volumen darstellen kann. Was sich dort ereignet, bestimmt die globale Verteilung auf dem Kontinuum.

Die drei poissonschen Annahmen lauten:

1. Innerhalb des Intervalls [w,w + ] gibt es höchstens ein Ereignis und beliebig viele Momente, in denen nichts geschieht (Seltenheit).
2. Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Intervall zu finden, ist proportional zur Länge des Intervalls (g ist konstant und damit auch unabhängig von w).
3. Das Eintreten eines Ereignisses im Intervall wird nicht beeinflusst von Ereignissen, die in der Vorgeschichte stattgefunden haben (Geschichtslosigkeit).

Mit Annahme 1 und 2 ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Intervall zu finden, gegeben als

sowie die Wahrscheinlichkeit eines leeren Intervalls durch

Nach Annahme 3 ist die Wahrscheinlichkeit eines leeren Intervalls unabhängig vom Auftreten irgendwelcher Ereignisse im Bereich w davor. So berechnet man die Wahrscheinlichkeit für kein Ereignis bis zum Punkt zu

Das ergibt näherungsweise die Differentialgleichung mit der Lösung

unter der Randbedingung p₀ (0) = 1 Ebenso findet man die Wahrscheinlichkeit für m Ereignisse bis zum Punkt

Jedes angehängte Intervall darf nach Annahme 1 nur entweder kein oder ein Ereignis enthalten. Die entsprechende Differentialgleichung hat die Lösung

.

Identifiziert man nun in diesem Ausdruck, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von m Ereignissen im Kontinuumsbereich w beschreibt, die Parameter mit und m mit k, stimmt er mit der Formel der Poisson-Verteilung überein. Die Zahl ergibt sich in vielen Aufgabenstellungen als Produkt einer Rate (Anzahl von Ereignissen pro Einheitsintervall) und einem Vielfachen des Einheitsintervalls.

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