Poisson-Verteilung

Eigenschaften

• Die Poisson-Verteilung wird durch den Parameter vollständig charakterisiert.
• Die Poisson-Verteilung ist stationär, das heißt nicht von der Zeit abhängig.
• In einem Poisson-Prozess ist die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem bestimmten Zeitpunkt poissonverteilt, die zufällige Zeit bis zum n-ten Ereignis Erlang-verteilt.

Einfache rekursive Berechnung

Zuerst bestimmt man , dann ergeben sich nacheinander Mit wachsendem k werden dabei die Wahrscheinlichkeiten größer, solange ist. Wird schrumpfen sie. Der Modus, also der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit, ist somit

Näherung

Falls die Berechnung von wegen zu großer Werte von und k Probleme bereitet, dann kann folgende mit der Stirlingformel erhaltene Näherung weiterhelfen:

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion F(x) der Poisson-Verteilung lautet

und gibt die Wahrscheinlichkeit p dafür, höchstens n Ereignisse zu finden, wo man im Mittel erwartet. Q(a, x) ist die regularisierte Gammafunktion der unteren Grenze.

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