Poisson-Verteilung

Anwendungsbeispiele

Grenzwertüberschreitung

Die Anzahl n_up poissonverteilter Ereignisse, die mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit p < 1 nicht überschritten wird, lässt sich aus der Inversion der Verteilungsfunktion berechnen:

Nun ist keine elementare Form der Inversion der Verteilungsfunktion, bezogen auf ihr erstes Argument, bekannt. Außer dem punktweisen Berechnen der Inversion gibt es aber noch folgende Möglichkeit:

Man findet für dass zum Beispiel folgende Ausdrücke der Verteilungsfunktion kaum (< 1 %) von abhängen:

Allgemein liegt für hohe Werte von p > 0,9 die Verteilungsfunktion sehr nahe bei p, wobei x_p das einseitige Quantil der Standardnormalverteilung darstellt und x_p als Funktion der Wahrscheinlichkeit p durch bestimmt ist. Die rechte Seite der Gleichung für x_p entsteht aus der Umkehrfunktion des Fehlerintegrals . Eine auch für den Taschenrechner geeignete Näherung liefert mit (Abweichung bei p > 0,95 kleiner als 0,5 %).

Der Ansatz für in ist zunächst motiviert durch die Tatsache, dass die Poisson-Verteilung für große in eine Normalverteilung mit Obergrenze übergeht. Das zusätzliche verbessert die Konstanz der Verteilungsfunktion bei kleinem lambda.

Für Mittelwerte wird mit Wahrscheinlichkeit p = 0,99 (99 %) maximal 1 Ereignis auftreten. Ist größer, dann berechnet sich die mit Wahrscheinlichkeit p zu erwartende größte Häufigkeit von Ereignissen n_up in guter Näherung aus der einfachen Formel

Es empfiehlt sich, das Ergebnis aufzurunden. Damit wird bei vielfachen Wiederholungen (oder anders formuliert: auf lange Sicht) die Wahrscheinlichkeit, mit der Zahl der Ereignisse unter der Grenze zu bleiben, etwas erhöht. Mit p = 0,95 (entspricht x_p = 1, 645) und sind also nicht mehr als n_up = 10 Ereignisse zu erwarten.

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