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Poisson-VerteilungBeziehung zur Normalverteilung/ Beziehung zur Erlang-Verteilung/ Beziehung zur Exponentialverteilung | |
| Anwendungsbeispiele | |
Poisson-Verteilung
Anwendungsbeispiele
Die Poisson-Verteilung ist eine typische Verteilung für die Zahl von Phänomenen, die innerhalb einer Einheit auftreten.
So wird sie häufig dazu benutzt, zeitliche Ereignisse zu beschreiben. Gegeben sind ein zufälligesEreignis, das durchschnittlich einmal in einem zeitlichen Abstand t1 stattfindet, sowie ein zweiter Zeitraum t2 , auf den dieses Ereignis bezogen werden soll.
Die Poisson-Verteilung 
mit
berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitraum t2
genau k Ereignisse stattfinden. Anders ausgedrückt ist
die mittlere Auftretenshäufigkeit eines Ereignisses.
Kaufhauskunden
Ein Kaufhaus wird an einem Samstag durchschnittlich alle 10 Sekunden (t1 ) von einem Kunden betreten. Werden nun im Takt von einer Minute bzw. 60 Sekunden die Personen gezählt, so würde man im Mittel 6 Personen erwarten (λ = 6 Personen/Minute), die das Kaufhaus betreten. P6 (k) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in der nächsten Minute (t2 ) genau k Kunden das Kaufhaus betreten.
Poisson-Verteilung mit λ=6
| P6(k) | ||
|---|---|---|
| k | Wahrscheinlichkeit in % | Summe in % |
| 0 | 0,25 | 0,25 |
| 1 | 1,49 | 1,74 |
| 2 | 4,46 | 6,20 |
| 3 | 8,92 | 15,12 |
| 4 | 13,39 | 28,51 |
| 5 | 16,06 | 44,57 |
| 6 | 16,06 | 60,63 |
| 7 | 13,77 | 74,40 |
| 8 | 10,33 | 84,72 |
| 9 | 6,88 | 91,61 |
| 10 | 4,13 | 95,74 |
| 11 | 2,25 | 97,99 |
| 12 | 1,13 | 99,12 |
| 13 | 0,52 | 99,64 |
| 14 | 0,22 | 99,86 |
| 15 | 0,09 | 99,95 |
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 4,5 % betreten genau 2 Personen in einer Minute das Kaufhaus. Mit einer Wahrscheinlichkeit von fast 92 % treten 0 bis 9 Personen (aufsummiert) ein. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 9 Personen in einer Minute eintreten, ist folglich 8 %.
Die Werte in der mittleren Spalte ergeben sich jeweils aus dem darüberliegenden Wert, multipliziert mit 6/k.
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