Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung (benannt nach dem Mathematiker Siméon Denis Poisson) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beim mehrmaligen Durchführen eines Bernoulli-Experiments entsteht. Letzteres ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei mögliche Ergebnisse besitzt (z. B. "Erfolg" und "Misserfolg"). Führt man ein solches Experiment sehr oft durch und ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gering, so ist die Poisson-Verteilung eine gute Näherung für die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Poisson-Verteilung wird deshalb manchmal als die Verteilung der seltenen Ereignisse bezeichnet (siehe auch Gesetz der kleinen Zahlen). Zufallsvariablen mit einer Poisson-Verteilung genügen dem Poisson-Prozess.

Die mit bezeichnete Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch den Parameter bestimmt, der gleichzeitig Erwartungswert und Varianz der Verteilung ist. Sie ordnet den natürlichen Zahlen k = 0, 1, 2, ... die Wahrscheinlichkeiten wie folgt zu:

wobei e die Eulersche Zahl (Basis der natürlichen Exponentialfunktion), eine reelle positive Zahl und k! die Fakultät von k bezeichnet.

Die Poisson-Verteilung liefert also Voraussagen über die Anzahl (k) des Eintretens voneinander unabhängiger Ereignisse, die in zufälliger Sequenz innerhalb eines bestimmten Intervalls auftreten, wenn aus vorangehender Beobachtung bereits bekannt ist, wie viele Ereignisse man im Mittel innerhalb dieses Intervalls erwartet . Sie ist ein Spezialfall der Panjer-Verteilung.

Poisson veröffentlichte 1837 seine Gedanken zu dieser Verteilung zusammen mit seiner Wahrscheinlichkeitstheorie in dem Werk "Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et en matière civile" ("Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen in Straf- und Zivilsachen").

Erweiterungen der Poisson-Verteilung wie die Verallgemeinerte Poisson-Verteilung und die Gemischte Poisson-Verteilung werden vor allem im Bereich der Versicherungsmathematik angewendet.

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