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Poisson-Prozess
Poisson-Prozess
Pfade von zwei Poissonprozessen mit konstanter Intensität: einmal 2.4 (blau) und 0.6 (rot). Der blaue Prozess hat eine vier mal höhere Intensität und weist auch mit 30 Sprüngen im gezeichneten Zeitintervall [0,14.9] weit mehr auf als der rote (nur 8). Dies sind fast genau vier mal so viele Sprünge, was auch zu erwarten war.
Pfade von zwei kompensierten zusammengesetzten Poisson-Prozessen. Wie oben ist die Intensität (Sprunghäufigkeit) des blauen Prozesses mit 2.4 genau vier mal so hoch wie die des roten Prozesses. Im gezeichneten Intervall [0,35] springt der blaue Prozess 66 mal (erwartet wären 35*2.4=84), der rote 16 mal, also circa vier mal so oft. Bei beiden Prozessen sind die Sprünge normalverteilt mit Mittel 0.25. Diese Sprünge nach oben werden durch den negativen Drift genau so ausgeglichen (kompensiert), dass beide Prozesse Martingale sind. Da der blaue Prozess öfter nach oben springt, ist sein negativer Drift stärker.
Ein Poisson-Prozess ist ein nach Siméon Denis Poisson benannter stochastischer Prozess. Er ist ein Erneuerungsprozess, dessen Zuwächse poissonverteilt sind.
Die mit einem Poisson-Prozess beschriebenen seltenen Ereignisse besitzen aber typischerweise ein großes Risiko (als Produkt aus Kosten und Wahrscheinlichkeit). Daher werden damit oft im Versicherungswesen zum Beispiel Störfälle an komplexen Industrieanlagen, Flutkatastrophen, Flugzeugabstürze, usw. modelliert.
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