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Inhalt

Grundlagen der Mathematik

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Planimetrie

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Das Dreieck

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Differentialgeometrie

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Planimetrie

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Unter dem Begriff Planimetrie versteht man allgemein die Geometrie in der Ebene. Im Speziellen versteht man darunter die Messung von Flächen in der Ebene.

Einfache Flächen wie die eines Kreises oder eines Rechtecks in der Ebene können aus bekannten Längenwerten berechnet werden. Unregelmäßige Flächen, wie z. B. die Fläche eines Ahornblattes, müssen mit planimetrischen Methoden abgeschätzt oder mit dem Planimeter ausgemessen werden.

Dreiecke

Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.

Gleichschenkliges Dreieck

Wenn in einem Dreieck ABC gilt: AC=BC, dann geht bei einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden durch C das Dreieck in sich über, weil beim Spiegeln alle Winkelweiten erhalten bleiben. Schlussfolgerung: Die Winkel () und ß (<CBA) müssen gleich groß sein. Umgekehrt wissen wir: Wenn in einem Dreieck ABC die Winkel a und ß gleich groß sind, dann muss das Dreieck bei der Spiegelung an der Mittelsenkrechten von AB in sich übergehen, denn auch Streckenlängen ändern sich beim Spiegeln nicht. Schlussfolgerung: Die Seiten AC und BC müssen gleich lang sein.

Satz vom gleichschenkligen Dreieck: Wenn in einem Dreieck zwei Seiten gleich lang sind, dann sind die diesen Seiten gegenüber liegenden Winkel gleich groß. Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, dann sind die diesen Winkeln gegenüber liegenden Seiten gleich lang.

Merke: Der Satz vom gleichschenkligen Dreieck schließt von Streckenlängen auf Winkelweiten oder von Winkelweiten auf Streckenlängen

Die beiden gleich langen Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite heißt Basis.
Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüberliegen, heißen Basiswinkel.
Den Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte, die Seitenhalbierende und die Höhe der Basis sowie die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze identisch.
Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks auffassen: Jede Seite ist gleichzeitig Schenkel und Basis und jede Ecke ist auch Spitze.

Gleichseitiges Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang. Alle drei Winkel sind immer 60° groß und damit 1/3 der Winkelsumme im Dreieck (180°/3).

Rechtwinkliges Dreieck

Die 2 Katheten bilden den rechten Winkel. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Satz des Thales

Liegt eine Seite eines Dreiecks auf dem Durchmesser des Umkreises, so ist der Winkel, der dieser Seite gegenüberliegt, ein rechter Winkel. Umkehrung: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Strecke vom Mittelpunkt der Hypotenuse zum Punkt gegenüber der Hypotenuse halb so groß wie die Hypotenuse.

Dreiecksungleichung

In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen größer als die Länge der dritten Seite.

Flächenberechnung

Allgemein berechnet man die Fläche eines Dreieckes als Fläche eines halben Parallelogramms. A = ½ g h g = Grundlinie h = Höhe d.h.: die Fläche = 2 Seiten * Sinus des eingeschlossenen Winkels Zur Vermeidung von Winkelfunktionen, wenn keine Winkel gegeben sind: Bei gegebenen Seiten a,b,c errechnet man sich zunächst den Umfang U = a + b + c und danach s = U/2. Dann gilt nach der Heronschen Flächenformel A² = s * (s-a) * (s-b) * (s-c) und A als die Quadratwurzel daraus.

Besondere Linien und Punkte

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechten stehen senkrecht auf den Seitenmitten und schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.

Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierenden halbieren die Innenwinkel und schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.

Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierenden verbinden die Seitenmitten mit den gegenüber liegenden Ecken und schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.

Winkel am Kreis

Beispiel: Mittelpunktwinkel = 120° Umfangswinkel = 60° Sehnen-Tangenten-Winkel = 60°

Die Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind alle gleich groß.
Die Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind halb so groß wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.
Die beiden Sehnen-Tangenten-Winkel gleich Umfangswinkel; halb so groß, wie Mittelpunktswinkel

Strahlensätze

2 Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt werden von 2 Parallelen geschnitten.

1. Strahlensatz

Vom Schnittpunkt ausgesehen verhalten sich Abschnitte auf dem einen Strahl zueinander, wie die gleich liegenden Abschnitte auf den anderen.

2. Strahlensatz

Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl, wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen.

Kongruenz

Ein Dreieck ist dann kongruent mit einem anderen, wenn sie durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen deckungsgleich sind, also die gleiche Form haben.

Ein Dreieck besteht aus 3 Seiten und 3 Winkeln (also 6 Angaben).
3 Angaben reichen aus, um ein Dreieck mit Zirkel und Geodreieck konstruieren zu können
5 Kombinationen: SSS, SWS, WSW, WWS, SSW
Wenn 3 Winkel gegebenen sind, kann Dreieck nicht eindeutig gezeichnet werden, weil das Dreieck unendlich oft unterschiedlich groß gezeichnet werden kann.
SSS bedeutet, dass Dreiecke kongruent sind, wenn die Länge der 3 Seiten mit dem anderen Dreieck übereinstimmen.
SWS: Seite-Winkel-Seite: 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.

Ähnlichkeit

2 Dreiecke sind ähnlich wenn,

jede Seite Verhältnis
zwei Winkel übereinstimmen (Hauptähnlichsatz)
in einem Winkel und den anliegen den Seiten übereinstimmen
in zwei Seiten übereinstimmen und der größte Winkel der größten Seite gegenüberliegt
Ähnlichkeit ist nicht gleich Kongruenz

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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