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Partielle Ableitungen

Eine Funktion sei in einer Umgebung des Punktes definiert. Dann heißt f in x⁰ partiell differenzierbar nach x_k , wenn der Grenzwert des Differentialquotienten

existiert. Dieser Grenzwert heißt die partielle Ableitung von f nach x_k im Punkt x⁰ und wird mit

oder f_xk (x⁰₁ , ..., x⁰_n )

bezeichnet.

Die Funktion f heißt in differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen nach allen Variablen x_k für alle existieren.

Die Funktion f heißt stetig differenzierbar in einem Punkt x⁰ , falls es eine Umgebung um x⁰ gibt, in der f differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen (k = 1, ..., n) stetige Funktionen von x_k sind. f ist in stetig differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt stetig differenzierbar ist.

Die partiellen Ableitungen entsprechen in dem Sinne den gewöhnlichen Ableitungen, dass nur eine Koordinate variiert wird und die anderen jeweils festgehalten werden. Daher kann man alle Differentiationsregeln auf partielle Ableitungen übertragen. Man wendet diese auf die Variable an, nach der differenziert wird und behandelt alle anderen Variablen als Konstanten.

Beispiele

f(x₁ , x₂ , x₃ ) = x₁ + e^x₂ + sin(x₃ )

Der Exponential- und Sinusausdruck verschwinden, da sie nicht von x₁ abhängen.

und

und .

Im Gegensatz zu reellen Funktionen (vgl. Satz 15J3), kann man für Funktionen mehrerer Veränderlicher aus der Differenzierbarkeit nicht mehr auf die Stetigkeit schließen.

Beispiel 165U

Die Funktion aus Beispiel 165Q ist in (0,0) nicht stetig. Sie ist dort aber wohl differenzierbar. Denn für x = 0 (genauso wie für y = 0) ist sie die Nullfunktion, deren Ableitung 0 ist. Daher gilt: .

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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