Partialbruchzerlegung

Verfahren

Ansatz

Vorausgesetzt wird hier, dass R^* in der Form gegeben ist, wobei der Grad von Z^* kleiner als der Grad des Nennerpolynoms N^* ist und sämtliche Nullstellen von N^* bekannt sind. Sind, wie oben angenommen, die n verschiedenen Nullstellen x_i und ihr jeweiliger Grad r_i bekannt, so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden:

Zu beachten ist, dass einige der x_i komplex sein können.

Der Ansatz ist nun folgendermaßen aufgebaut:

• Für jede einfache reelle Nullstelle x_i enthält er einen Summanden
• Für jede r_i -fache reelle Nullstelle x_i enthält er r_i Summanden

Da R reell ist, gehört zu jeder komplexen Nullstelle z_i notwendigerweise auch die konjugiert komplexe Nullstelle z_i . Sei x² + p_i x + q_i das quadratische Polynom mit den Nullstellen z_i und z_i , also x² + p_i x + q_i := (x - z_i )(x - z_i ).

• Für jede einfache komplexe Nullstelle z_i enthält der Ansatz nun einen Summanden
• Entsprechend enthält der Ansatz für jede s_i -fache komplexe Nullstelle z_i (und die zugehörige, ebenfalls s_i -fache, konjugiert komplexe Nullstelle z_i ) die s_i Terme

Jeder Ansatz enthält somit genau g unbekannte Koeffizienten a_i1 , ..., a_iri , b_i1 , ..., b_isi , c_i1 , ..., c_isi

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