Parameterdarstellung

Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen

Unter der Parameterdarstellung (oder auch Parameterform) einer Geradengleichung oder einer Ebenengleichung versteht man die Form

(Geradengleichung)

bzw.

(Ebenengleichung),

mit den reellen Parametern und . Der Vektorr₀ ist der Ortsvektor eines Punktes P₀ auf der Geraden bzw. Ebene. Während u in der Geradengleichung ein Richtungsvektor ist, nennt man u und v in einer Ebenengleichung Spannvektoren. Nachstehend ist dies an einer Ebene erläutert:

right

Die Richtungsvektoren spannen ein affines Koordinatensystem auf (durch das blaue Koordinatennetz innerhalb der Ebene angedeutet), wobei λ und μ die affinen Koordinaten darstellen. Ein Punkt Q der Ebene kann erreicht werden, indem man vom Koordinatenursprung aus zunächst Vektor r₀ durchläuft und dann λ-mal Vektor u und μ mal Vektor v. Im abgebildeten Beispiel ist λ = 2 und μ = 3:

.

Der Punkt Q hat dann die affinen Koordinaten (2|3). Zugleich hat er natürlich kartesische Koordinaten. Sind beispielsweise P₀(4|-6|3) der Ausgangspunkt, sowie

und

die Richtungsvektoren, so hat die Ebene die Gleichung:

.

Der Ortsvektor von Q ist dann

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