Yacas Reloaded - Freies Computer Algebra System

Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Diskrete Mathematik

Algebra

Lineare Algebra

Geometrie

Elementargeometrie

Analytische Geometrie

Euklidische Vektorräume

Koordinatensysteme

Ebene

Koordinatensysteme

Skalarprodukt

Orthokomplement

Geraden

Punkt und Gerade

Dreiecke

Kurven 2. Ordnung

Raum

Analysis

Differentialgleichungen

Funktionalanalysis

Differentialgeometrie

Anbieterkennzeichnung

Weiterbildung für alle! Über 200 Fernlehrgänge an Deutschlands größter Fernschule!

Orthokomplement

Neu: Das Wurzelzieher Mathepedia Forum.

Jetzt registrieren und mit anderen Nutzern über Mathematik diskutieren!

Eine Besonderheit der euklidischen Ebene ist das Orthokomplement eines Ortsvektors . Dies bildet in natürlicher Weise wieder einen Ortsvektor und wir definieren es mit

Also geht aus a durch Drehung um 90° hervor.

Satz 5309A (Eigenschaften des Orthokomplements)

Für Ortsvektoren a,b der euklidischen Ebene und reelle Zahlen gilt:

Damit ist eine lineare Abbildung.

Beweis

Die Behauptungen hat man durch Einsetzen in die Definition schnell nachgerechnet.

Satz 5324A (Orthokomplement und Skalarprodukt)

Für drei Vektoren a, b und c der euklidischen Ebene gilt:

Dabei drückt ii. insbesondere aus, dass je drei Vektoren des linear abhängig sind.

Weiterhin kann man aus i. die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ableiten, die aber schon im Satz 5310C für allgemeine euklidische Vektorräume bewiesen wurde.

Beweis

Wir setzen , .

(i): Mit ergibt sich = (a_x b_x + a_y b_y )² + ( - a_x b_y + a_y b_x )² = (a_x b_x )² + (a_y b_y )² + 2a_x a_y b_x b_y + (a_x b_y )² + (a_y b_x )² - 2a_x a_y b_x b_y = (a_x b_x )² + (a_y b_y )² + (a_x b_y )² + (a_y b_x )² = (a_x ² + a_y ² )(b_x ² + b_y ² ) = ||a||² | b||² .

(ii): Mit bedeutet die Behauptung: ( - a_x b_y + a_y b_x )c + ( - b_x c_y + b_y c_x )a + ( - c_x a_y + c_y a_x )b = 0. Wenn wir diese Vektorgleichung für x und y komponentenweise aufschreiben, ersieht man die Gültigkeit der beiden entstehenden Gleichungen sofort.

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

Druckansicht

Impressum: Wurzelzieher Mathepedia • Thomas Steinfeld • Dorfplatz 25 • 17237 Blankensee • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: matһе@wυrzеlzιeher.de

Amazon.de empfiehlt: