Ordnungsrelation

In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der „kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.

Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation

auf einer Menge M mit bestimmten unten aufgeführten Eigenschaften, worunter immer die Transitivität ist.

Ist eine Menge M mit einer Ordnungsrelation R gegeben, dann nennt man das Paar (M, R) eine geordnete Menge. Meist bevorzugt man an Stelle der Schreibweise die sogenannte Infix-Notation a R b. Außerdem wird für Ordnungsrelationen in den seltensten Fällen ein Symbol wie R verwendet. Stattdessen verwendet man häufig das Symbol „“ oder ähnliche Symbole. Die Schreibweise a < b verwendet man als Abkürzung für „ und “. Dies erweist sich als zweckmäßig, da für Relationen größtenteils Rechenregeln gelten, die denen in (mit gewohntem „“) entsprechen.

Eine (totale) Ordnung auf einer Menge liefert eine Anordnung der Elemente in einer bestimmten Reihenfolge, zum Beispiel die Anordnung der Buchstaben A bis Z im lateinischen Alphabet. Die Reihenfolge der Buchstaben ist willkürlich festgelegt, und jede andere Reihenfolge wäre ebenfalls eine Ordnung.

Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten von Ordnungsrelationen mit Beispielen.Für Definitionen der Eigenschaften siehe transitiv, reflexiv und irreflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch oder den Artikel Relation (Mathematik).

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