Numerische Integration

Interpolatorische Quadraturformel

Eine wichtige Klasse von Quadraturformeln ergibt sich durch die Idee, die Funktion f(x) durch ein Interpolationspolynom vom Grad m zu approximieren und dieses dann zu integrieren. Die Gewichte ergeben sich dann als die Integrale der Lagrange-Polynome zu den gegebenen Stützstellen. Nach Konstruktion werden Polynome vom Grad m exakt integriert. Die Quadraturformel lautet also

mit den Koeffizienten

Werden die Stützstellen äquidistant gewählt, ergeben sich die Newton-Cotes-Formeln. Werden jedenfalls die Integrationsränder als Stützstellen gewählt, ergeben sich die abgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln. Zu diesen gehören unter anderem die Trapezregel und die Simpson-Regel. Die abgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln von geradem Grad integrieren sogar Polynome von einem Grad höher exakt.

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