Nullteiler

Definition

Ist R ein Ring und , dann unterscheidet man zwischen:

• Linksnullteiler: Es gibt ein Element , so dass ab = 0.
• Rechtsnullteiler: Es gibt ein Element , so dass ba = 0.
• (zweiseitiger) Nullteiler: a ist sowohl Links- als auch Rechtsnullteiler.
• Linksnichtnullteiler: a ist kein Linksnullteiler.
• Rechtsnichtnullteiler: a ist kein Rechtsnullteiler.
• (zweiseitiger) Nichtnullteiler: a ist weder Links- noch Rechtsnullteiler, oft auch reguläres Element genannt.

In nichtkommutativen Ringen müssen Linksnullteiler keine Rechtsnullteiler sein und umgekehrt, bei kommutativen Ringen hingegen fallen alle sechs Begriffe schlicht zu Nullteiler und Nichtnullteiler zusammen.

Manche Autoren lassen auch die 0 als Nullteiler zu, das heißt sie verzichten auf die Bedingung . Dann ist 0 stets ein Nullteiler und man nennt von 0 verschiedene Links-, Rechts- oder zweiseitige Nullteiler echt. Ein Ring ohne echte Links- und ohne echte Rechtsnullteiler heißt nullteilerfrei.

Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Einselement heißt Integritätsring.

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