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Grundlagen der Mathematik

Diskrete Mathematik

Differentialgleichungen

Funktionalanalysis

Normierte Räume

Absolut konvergente Reihen

Funktionenräume

Endlich dimensionale Räume

Funktional

Lineare Operatoren

Banach-Raum

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Normierte Räume und Banachräume

Ein Vektorraum V über den reellen Zahlen (oder den komplexen Zahlen ) heißt ein normierter Vektorraum oder kürzer normierter Raum, wenn es eine Abbildung gibt, welche die folgenden Eigenschaften besitzt:

||a|| > 0 für alle
für alle und (Homogenität)
für alle

Diese Abbildung wird Norm genannt. Man benutzt die Doppelstriche um die Norm vom Absolutbetrag der reellen Zahlen zu unterscheiden.

Eigenschaft iii. ist die allseits bekannte Dreiecksungleichung in vektorieller Form.

Satz 5310D (Eigenschaften normierter Vektorräume)

Sei V ein normierter Vektorraum mit der Norm und . Dann gilt:

||0|| = 0
||-a|| = ||a||

Zusammen mit der obigen Definition bedeutet (i): .

Beweis

i. erhält man sofort aus .

ii. ist ebenso einfach

Bemerkung

Durch den Ansatz d(x, y) := ||x - y|| wird auf V eine Metrik erklärt. Damit ist V insbesondere ein metrischer Raum. Begriffe, wie konvergente Folge, Cauchyfolge, offene Mengen und abgeschlossene Mengen etc. gelten auch für normierte Räume.

Definition Banachraum

Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum (benannt nach dem Mathematiker Stefan Banach).

Beispiele

Reelle Zahlen

ist der normierte Raum der reellen Zahlen mit der Betragsfunktion (siehe Satz 5221C).

mit der p-Norm

für

wobei .

Diese Norm geht für in die die Maximumnorm über.

Weitere Spezialfälle der p-Norm sind

die Summennorm und

die euklidische Norm.

Der Beweis der Normeigenschaften ist einfach zu führen; die Dreiecksungleichung entspricht der Minkowskischen Ungleichung. Der mit einer beliebigen Norm ist vollständig, also ein Banachraum (vgl. hierzu Satz 16KC).

Stetige Funktionen

Sei C([a, b]) die Menge aller stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b]. Mit definieren wir eine Norm (Rechtfertigung vgl. Satz 15FV). Dieser Raum ist ein Banachraum (siehe Satz 16K8).

Polynome

Der Funktionenraum der Polynome mit der Norm ist nicht vollständig.

Beweis

Wir wissen ist gleichmäßig konvergent auf [a, b]. Daraus folgt, die Folge (p_n )_n mit ist eine Cauchyfolge bezüglich ist.

Angenommen mit .

Damit ist p(x) = e^x , was ein Widerspruch zu unserer Annahme steht, da die Exponentialfunktion kein Polynom ist .

Beispiel

Der Raum C([0, 1]) mit der Norm ist nicht vollständig.

Beweis

Für definieren wir .

Es ist ||f_m ||₁ .

Sei n > m (f_n )_n ist Cauchyfolge.

Annahme: Es existiert ein mit . Dann ist Für geht und damit gilt: . Die Funktion f muss also die Gestalt haben, was einen Widerspruch zu der Annahme f sei stetig darstellt.

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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