Normalverteilung

Rechnen mit der Standardnormalverteilung

Grundlegende Fragestellungen

Allgemein gibt die Verteilungsfunktion die Fläche unter der Glockenkurve bis zum Wert x an, d. h. es wird das bestimmte Integral von bis x berechnet.

Dies entspricht in Aufgabenstellungen einer gesuchten Wahrscheinlichkeit, bei der die Zufallsvariable X kleiner oder kleiner gleich einer bestimmten Zahl x ist. Durch die Verwendung der reellen Zahlen und der Stetigkeit der Normalverteilung macht es keinen Unterschied, ob nun < oder verlangt ist,

weil und somit .

Dasselbe gilt für größer und größer gleich.

Dadurch, dass X nur kleiner oder größer einer Grenze (oder innerhalb oder außerhalb zweier Grenzen) liegen kann, ergeben sich für Aufgaben bei normalverteilten Wahrscheinlichkeitsberechnungen folgende zwei grundlegende Fragestellungen:

• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsversuch die normalverteilte Zufallsvariable Z höchstens den Wert z annimmt?

In der Schulmathematik wird für diese Aussage auch die Bezeichnung Linker Spitz verwendet, da die Fläche unter der Gaußkurve von links bis zur Grenze verläuft. Für z sind auch negative Werte erlaubt, trotzdem haben viele Tabellen der Standardnormalverteilung nur positive Einträge. Durch die Symmetrie der Kurve und der Negativitätsregel des linken Spitz stellt dies aber keine Einschränkung dar:

• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsversuch die normalverteilte Zufallsvariable Z mindestens den Wert z annimmt?

Analog wird hier oft die Bezeichnung Rechter Spitz verwendet. Ebenso gibt es eine Negativitätsregel:

(Da jede Zufallsvariable X der allgemeinen Normalverteilung sich in die Zufallsgröße Z der Standardnormalverteilung umwandeln lässt, gelten die Fragestellungen für beide Größen gleichbedeutend.)

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