Normalverteilung

Parameterschätzung

Oft sind die Parameter einer Normalverteilung nicht bekannt und müssen geschätzt werden. Beispielsweise ist dies der Fall, wenn eine Reihe von Messwerten x₁ , ..., x_n vorliegt, bei welcher man Grund zur Annahme hat, dass sie unabhängige Realisierungen einer normalverteilen Zufallsgröße mit unbekannten Parametern und sind.

Erwartungstreue Schätzer

Der Erwartungswert kann durch das arithmetische Mittel

geschätzt werden (siehe Schätzwert für den Erwartungswert).

Die Varianz kann über die (korrigierte) Stichprobenvarianz

geschätzt werden.

Beide Schätzer sind erwartungstreu.

Maximum-Likelihood-Schätzung der Verteilungsparameter

Um die Parameter einer Normalverteilung zu schätzen, kann man auch die Maximum-Likelihood-Schätzung verwenden. Schätzer für den Erwartungswert und für die Varianz erhält man, indem die Log-Likelihood-Funktion für die Normalverteilung maximiert wird.

Als Maximum-Likelihood-Schätzer für ergibt damit ebenfalls , also das arithmetische Mittel der Messwerte.

Für die Varianz erhält man dagegen die unkorrigierte Stichprobenvarianz

und für die Standardabweichung

Diese Schätzer für Varianz bzw. Standardabweichung sind jedoch nicht bzw. nur asymptotisch erwartungstreu. Selbst wenn man einen erwartungstreuen Varianz-Schätzer verwendet, ist dessen Quadratwurzel – d. h. die Standardabweichung – im Allgemeinen nicht ebenfalls erwartungstreu.

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