Normalverteilung

Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke, Gaußsche Glockenkurve oder schlicht Glockenkurve genannt.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit endlicher Varianz (s. die Cauchy-Verteilung als Gegenstück) im Grenzwert normalverteilt ist. Das bedeutet, dass man Zufallsvariablen dann als normalverteilt ansehen kann, wenn sie durch Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, wobei jede einzelne Einflussgröße einen im Verhältnis zur Gesamtsumme unbedeutenden Beitrag liefert.

Die Abweichungen der (Mess)Werte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftlicher Vorgänge vom Mittelwert lassen sich durch die Normalverteilung (bei biologischen Prozessen oft logarithmische Normalverteilung) entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:

• zufällige Messfehler,
• zufällige Abweichungen vom Nennmaß bei der Fertigung von Werkstücken,
• Beschreibung der brownschen Molekularbewegung.

In der Versicherungsmathematik ist die Normalverteilung geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen.

In der Messtechnik wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, die die Streuung der Messfehler beschreibt. Hierbei ist von Bedeutung, wie viele Messpunkte innerhalb einer gewissen Streubreite liegen. Die Standardabweichung beschreibt die Breite der Normalverteilung und hängt mit der Halbwertsbreite zusammen. Es gilt näherungsweise:

• Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 68,27 % aller Messwerte zu finden,
• Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 95,45 % aller Messwerte zu finden,
• Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 99,73 % aller Messwerte zu finden.

Und ebenso lassen sich umgekehrt für gegebene Wahrscheinlichkeiten die maximalen Abweichungen vom Mittelwert finden:

• 50 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens vom Mittelwert,
• 90 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens vom Mittelwert,
• 95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens vom Mittelwert,
• 99 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens vom Mittelwert.

Somit kann neben dem Mittelwert auch der Standardabweichung eine einfache Bedeutung zugeordnet werden.

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