Nichtstandardanalysis

Modelltheoretischer Zugang

Neben den in der Standard-Analysis üblichen reellen Zahlen werden so genannte hyperreelle Zahlen verwendet. Die hyperreellen Zahlen bilden einen geordneten Erweiterungskörper der reellen Zahlen, und können damit nicht das archimedische Axiom erfüllen. Eine Verletzung des Archimedischen Axioms findet hier zum Beispiel durch die so genannten Infinitesimalzahlen statt; das sind Zahlen, die näher bei Null liegen als jede von 0 verschiedene reelle Zahl.

Die hyperreellen Zahlen erfüllen aber das Archimedische Axiom, wenn es statt mit mit der Menge der hypernatürlichen Zahlen formuliert wird. Formuliert man die Vollständigkeit mit Abbildungen (anstelle von Folgen ), so erfüllen die hyperreellen Zahlen auch diese Vollständigkeit. Die hyperreellen Zahlen bilden also (wenn das Symbol uminterpretiert wird) einen (*-) vollständigen, (*-) archimedisch geordneten Körper, das heißt ein Modell der Axiome der reellen Zahlen (das nicht zu isomorph ist).

Das erste Modell einer Nichtstandardanalysis wurde in den 1960er Jahren von Abraham Robinson entwickelt. Er verwendete dieses, um einen Satz aus der Funktionalanalysis zu zeigen, nämlich dass jeder polynomial kompakte Operator in einem Hilbertraum einen invarianten Unterraum besitzt. Allerdings verlangt die Konstruktion des Modells die Verwendung eines Ultrafilters über . Von diesem kann man zwar mit Hilfe des Auswahlaxioms die Existenz nachweisen, man kann allerdings keinen solchen Ultrafilter konkret angeben.

In der Nichtstandardanalysis können die in der Analysis üblichen Begriffe wie Ableitung oder Integral ohne Grenzwerte definiert werden. In dieser Hinsicht ist die Nichtstandardanalysis näher bei den Ideen der Gründer der Infinitesimalrechnung, Newton und Leibniz. Die Verwendung von „unendlich kleinen Größen“ in der Nichtstandard-Analysis ist jedoch, im Gegensatz zu Newton und Leibniz, logisch einwandfrei und ohne bekannte Widersprüche. Es gibt ferner Anwendungen der Nichtstandardanalysis in der Stochastik und der Topologie.

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