Nichtstandardanalysis

Axiomatische Zugänge

Internal Set Theories

Diese Theorien beschränken die Betrachtungen auf das erweiterte Universum (der internen Mengen), indem innerhalb der "üblichen Mathematik" Standard-Objekte ausgezeichnet werden. Wie sich diese Standardobjekte verhalten wird durch Axiome festgelegt. Weit verbreitet ist etwa das Transfer-Axiom: Wenn eine Aussage in der Sprache der klassischen Mathematik für alle Standard-Objekte zutrifft, dann auch für alle Objekte.

Die Entsprechung im modelltheoretischen Zugang wäre: Wenn eine Aussage im ursprünglichen Universum zutrifft, dann auch im (strukturisomorphen) erweiterten Universum.

Die bekannteste Theorie interner Mengen ist die Internal Set Theory von Edward Nelson. Sie ist aber nicht mit der Theorie von Hrbacek vereinbar, denn in IST existiert eine Menge, die alle Standardobjekte enthält, allerdings muss S in HST (siehe oben) eine echte Klasse sein.

Daher werden auch schwächere Theorien betrachtet (Bounded Set Theory, Basic Internal Set Theory und - in der Fachwelt wenig beachtet - die überarbeitete Version von Nelson's IST), die ebenfalls unter dem Sammelbegriff "Theorien interner Mengen" ("internal set theories") zusammengefasst werden.

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